> XLII. J. Sobotka 
2. Halten „wir nun die beiden Tangenten » und u fest und be- 
ziehen sie derart auf einander, dass immer solche Punkte derselben 
sich entsprechen, welche Schnitte einer Tangente von (a) sind. Als- 
dann sind die Punktreihen auf » und u in einzweideutiger Beziehung; 
d. h. die Punktreihe auf n ist zu einer auf u gelegenen guadratischen 
Involution projektiv. 
Wir wollen jetzt den vorerwähnten Punkt P, construieren. Der- 
selbe ist derjenige Punkt auf n, welcher dem Punkte (nu) auf u 
entspricht. 
Um die Punktreihen auf » und u zu vervollständigen, proji- 
cieren wir bekanntlich diese aus irgend einem Punkte M auf », jene 
aus dem entsprechenden Punkte W auf u. Die so erhaltenen Strahlen- 
büschel erzeugen einen Kegelschnitt 7, nämlich den Reduktionskegel- 
schnitt in Bezug auf M für die beiden in (1, 2)-deutiger Beziehung 
stehenden Punktreihen. Dieser Kegelschnitt geht durch W, A, und 
trifft n ausser in W noch in dem fraglichen Punkte P.. 
Am einfachsten lässt sich diese Construction durchführen, wenn 
die Achsen p, g des Kegelschnittes (4) der Lage nach gegeben sind. 
Es sei O (Fig. 1) der Mittelpunkt von (A). Wir verlängern 
(PO) bis zum Punkte © so, dass OA = PO. Die drei Tangenten von 
Q an (a) sind die Senkrechten durch Q zu (PO) q und p. Wir bezeich- 
nen die Schnittpunkte dieser Tangenten mit n beziehungsweise durch 
R, N, M und wählen den letzteren unter ihnen als denjenigen, in 
Bezug auf welchen wir den Reductionskegelschnitt ermitteln wollen. 
Ziehen wir durch M die Parallele zu (AR), durch R die Paral- 
lele zu (QM), so erhalten wir im Schnitte beider einen Punkt Jí, von 
r. Ebenso liefert der Schnittpunkt N, der durch M zu (QN) parallel 
gezogenen Geraden mit derjenigen, die wir durch N parallel zu (QM) 
legen, einen Punkt von r. Weiter erkennt man leicht, dass (QM) in 
M, (QN) in N die Kurve (a) berührt und dass demnach M und N 
Verzweigungspunkte der Punktreihe auf » sind. Demzufolge wird 
r in M von (MO), in N, von (NN) berührt; es ist somit (MN) 
eine Achse von r. 
Da nun (R,N,)||r ist, so braucht man bloss durch N, die 
Senkrechte zu (PO) zu errichten, welche » in dem gesuchten Punkte 
P, trifft; es ist alsdann NP, = RM. Daraus entnehmen wir sofort 
folgende bekannte Krümmungs-Mittelpunkts-Construction. 
Man errichte in O die Senkrechte zu (PO) bis zu ihrem Schnitt 
R, mit n und übertrage die Länge zwischen À, und p resp. g auf 
der Normale x auf diese vom Schnittpunkte (gn) resp. (pn) auch dem 
