Eine neue Bedingung der Convergeaz unendlicher Reihen. 3 



deren Nenner dem Bildungsgesetz 



V n+ i = V n -(- Vn-i 



allgemein entsprechen. 



Hiedurch findet auch die einfachste Begründung der bekannte 

 Satz, dass die Reihe 



111 . . ,. 



convergent ist, wenn das ganzzahlige r grösser ist als 1, was also 

 schon für die unendliche Reihe der reciproken Quadratzahlen an- 

 wendbar erscheint. 



Auf dieselbe Weise lässt sich nun auch der Satz begründen, 

 dass die Reihe 



. Wj Mo tt 8 . . e 



(4) -i, -^, -V . . .in inf. 



convergent ist, wenn die Zähler 



(5) u v , u 2 , u ä , ... in inf. 



eine arithmetische Reihe m-ter Ordnung, die Nenner hingegen 



(6) v x , v 2 , v 3 , . . . in inf. 



eine arithmetische Reihe n-ter Ordnung vorstellen und hiebei n min- 

 destens um zwei Einheiten grösser ist als m, 

 Darnach ist die unendliche Reihe 



ir> »)-■ nr- ö*. <r- ■ 



convergent, da die Reihe der Zähler 



l 2 , 3 2 , 5 2 , 7 2 , 9 2 , . . . 



eine arithmetische zweiter Ordnung, die der Nenner 



l 2 , 3 2 , 6 2 , 10 2 , 15 2 , . . . 



eine arithmetische Reihe vierter Ordnung vorstellt. 



Hiebei findet der platte Satz, dass man eine arithmetische Reihe 

 mn-ter Ordnung erhält, wenn man die einseinen Glieder einer arith- 

 metischen Reihe m-ter Ordnung sur n-ten Potenz erhebt, seine ein- 

 fachste Verwendung. 



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