4 VI J. Sobotka: 



auch dann noch die letzte Beziehung besteht, so ist (KPK^*,) — — 1, 

 oder KK X : PK 1 — — 1 , woraus folgt, dass q = 2 . PK X ist. 



Dadurch sind wir zum folgenden Satze, welcher dem zuletzt 

 ausgesprochenen Satze reciprok gegenübersteht, gelangt. 



III. Bringen wir eine Tangente a des Kegelschnittes k zum Schnitte 

 einmal mit der Tangente t für den Punkt P in A + , das zweitemal 

 mit irgend einer anderen Tangente q desselben in A, so umhüllt, wenn 

 a den Kegelschnitt k beschreibt, die Senkrechte von A+ auf (PA) eine 

 Parabel ü v welche die Tangente t und die Normale n von k für den 

 Punkt P berührt und zwar die letztere im Halbierungspunkt K x des 

 Krümmungshalbmessers von k im Punkte P. 



4. Nehmen wir (Fig. 2.) die Gerade t, einen auf ihr liegenden 

 Punkt P, die Normale n durch P zu t und irgend ein Dreieck ABQ 

 an und denken uns zwei Kegelschnitte, welche t in P berühren, von 

 denen der erste k dem Dreieck ABQ umbeschrieben, der zweite k x 

 demselben Dreieck einbeschrieben ist. 



Den ersten Kegelschnitt k projicieren wir vom Punkte Q auf t 

 und konstruieren auf Grund dessen die Parabel TÍ des Satzes IL 

 Diese berührt t, n, ferner die Senkrechte l, welche man vom Schnitt- 

 punkte L der Geraden (QA) mit t auf (PA) fällt, sowie die Senk- 

 rechte m, welche man vom Schnittpunkte M der Geraden (QB) mit t 

 auf (PB) fällt. Durch die vier Tangenten t, n, l, m ist TT vollständig- 

 bestimmt. 



Für den zweiten Kegelschnitt k x betrachten wir seine Tangente 

 (AB) als die Gerade q des Satzes III und konstruieren die Parabel 7T X , 

 so erkennen wir, dass sie gleichfalls die Geraden t, n, l, m zu Tan- 

 genten hat und deshalb mit der soeben abgeleiteten Parabel TT zu- 

 sammenfällt. 



Ist U der Berührungspunkt von ü 1 =z TT mit n und bezeichnen 

 wir mit q den Krümmungshalbmesser von k, mit q l von \ in P, so 

 ist den herangezogenen Sätzen zufolge 



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 somit 



4-. PÔ"; Ql = 2.PU, 



Qi=*Q. 



Dies liefert den folgenden Satz. 



IV. Wenn von zwei Kegelschnitten, die einander in einem Punkte 

 P berühren, der eine einem Dreieck umbeschrieben, der -andere dem- 



