12 VI. J. Sobotka : 



Es sei wieder S der Schnitt beider Geraden, so ist e = (PS). Ziehen 

 wir die Parallelen zu z durch B 1 bis zum Schnitt A' mit (PA) und 

 durch A 1 bis zum Schnitt B' mit (PB), so ist (ÄB')\\t. 



Der Kegelschnitt w nun, welcher dem Parallelogramm B X A X B'A' 

 einbeschrieben ist und (A X B X ) in P berührt, osculiert in P den Kegel- 

 schnitt, welcher dem Dreieck ABC einbeschrieben ist und gleichfalls 

 (A X B X ) in P berührt. 



Mithilfe der Geraden z bekommen wir zunächst folgende Kon- 

 struktion von q, beziehungsweise q v 



„Wir errichten (Fig. 10) in A 1 die Senkrechte zu (PB), in B 1 

 die Senkrechte zu (PA) und bringen beide im Punkte J zum Schnitte. 

 Weiter ziehen wir durch A die Parallele zu t, die wir mit (PB) in 1 

 zum Schnitte bringen, worauf wir (A 1 1) mit (AC) in 2 schneiden. 

 Fällen wir schliesslich von J die Senkrechte auf (P2), so schneidet 

 dieselbe n in £7, und es ist 



Denn es ist (P2) mit der Geraden z identisch; t, w, (A X J), 

 (B X J) sind Tangenten der Parabel II 1 im Satze III; der Berührungs- 

 punkt U dieser Parabel mit n ist so zu bestimmen, dass er die durch 

 (A X T), (B X J) auf n ausgeschnittene Strecke im Verhältnis A 1 P:B 1 P 

 teilt, was wegen der Aehnlichkeit des früher betrachteten Dreieckes 

 A X B X S mit dem Dreieck, dessen Ecken die Punkte [n (A^Tj], [n (B X J)\ 

 J sind, durch die Senkrechte von J auf z geschieht. Dadurch ist die 

 Richtigkeit unserer Konstruktion erwiesen. 



14. Leiten wir (Fig. 9) aus dem betrachteten Hilfskegelschnitte 

 w einen neuen Kegelschnitt iv ab, der zu w affin liegt für t als 

 Axe und Richtung der Affinität, so dass der Geraden z die Normale 

 n entsprechen soll. Der Kegelschnitt w ist also dem Rechteck 

 A 1 B 1 A B einbeschrieben, wobei A , B auf (AB 1 ) zu liegen kommen. 



Die Kegelschnitte îv^Wq osculieren einander in P. 



Es ist ja bekannt, wenn allgemein ein Kegelschnitt w die Gerade 

 t in P berührt und man aus ihm einen centrisch-collinearen Kegel- 

 schnitt w ü für t als Collineationsachse und für irgend einen Punkt M 

 auf t als Collineationsraittelpunkt ableitet, dass w und w einander 

 in P osculieren. 



Ersetzen wir also w durch w und wenden auf das diesem Kegel- 

 schnitte angehörende Tangentendreieck A B C , worin C den unend- 



