Analytische Darstellung der Lissajous scheu Figuren. 3 



§ I- 



Es seien X'X und Y'Y zwei verschiedene Richtungen, in denen 

 ein Punkt gleichzeitig einfache (pendelartige) Schwingungen ausführen 

 soll. Der Einfachheit wegen wollen wir annehmen, dass diese Rich- 

 tungen zu einander senkrecht sind ; es wird sich indessen aus den 

 weiteren Auseinandersetzungen zeigen, dass diese — scheinbare - 

 Beschränkung eigentlich nicht nöthig ist, und dass es in der ana- 

 lytischen Behandlung keinen Unterschied macht, wenn jene Richtungen 

 auch zu einander schief sind. Die zur Zeit t bestehenden Elongati- 

 onen x und y des schwingenden Punktes, gerechnet vom Durch- 

 schnittspunkt jener Schwingungsrichtungen, sind dann rechtwinklige 

 — eventuell schiefwinklige — Coordinaten des schwingenden Punktes. 

 Die Schwingungsconstanten mögen sein : die Perioden 7\ und T!,, die 

 Schwingungszahlen N^ und N 2 , wobei T 1 A\ ir 1 — T 2 N 2 ; ferner die 

 Amplituden a und b. Was die Schwingungsphasen im Augenblicke 

 t = O betrifft, so wollen wir annehmen,*) dass die Schwingung in 

 der Richtung X'X mit diesem Augenblicke beginnt, die andere Schwin- 

 gung in der Richtung Y'Y jedoch sich schon in der Phase s befindet; 

 sie hat also um die Zeitdauer r früher begonnen, eilt somit voraus ; 

 dabei ist stets 



2tc ' T 2 



Man kann somit den Zeitunterschied r stets einfach aus dem 

 Phasenunterschied e berechnen und umgekehrt; es ist jedoch vorteil- 

 hafter, den Phasenunterschied in den Rechnungen zu behalten. Die 

 Grundgleichungen für die gegebenen Einzelnschwingungen sind somit 



. 2tc . 

 x — a sin T t 



-* 1 



2it 



y = bsin (—-*-[-«) 



*) Lissajous fügt den Zeitunterschied r in der Gleichung nicht für y 

 sondern für x an; sachlich ist es natürlich gleichgiltig ; wie jedoch aus den 

 nachfolgenden Darstellungen hervorgeht, ist es formell vorteilhafter es umge- 

 kehrt zu thun. Aehnliches gilt auch über die Wahl der Function; viele Autoren 

 wählen cosinus statt sinus. Lissajous gebraucht ebenfalls die Function sinus, 

 was wohl formell auch vorth eilhafter ist. 



1* 



