Analytische Darstellung der Lissajous-schen Figuren. 7 



dass wenn k eine ganze Zahl bedeutet/ für ungerade Werthe der- 

 selben die Function cp 7 und für gerade Werthe die Function i> rational 

 wird. Als Beispiel sollen folgende — für akustische Zwecke aus- 

 reichende — zahleninässige Entwickelungen dienen: 



(p (u, 1) ==: Sin a — u 



(p (u, 3) — sin 3a = 3u — 4u s 



y (u, 5) = sin ba =: bu — 20w 3 -j- 16w 5 



<p (u, 7) = sin la — lu — 56w 8 -f- 1 I2u r > — 64u 7 



cp (u, 9) = sin 9« = Qu — 120u 3 -f- 432w 3 — 576w 7 -f- 256w 9 



und in ähnlicher Weise 



ý (u, 0) — cos =1 



^ (w ; 2) z= cos 2a — 1 — 2w 2 



^ (w 7 4) zz cos 4a— 1 — 8w 2 -4- 8w 4 



^ (w ; 6) = cos 6a — 1 — lSu 2 -|- 48 w 4 — 32^í 6 



ip(u, 8) = cos 8« = 1 — 32w 2 4- 160w 4 — 256w ß -f 128«i 8 . 



Allgemein gilt für ein ungerades k 



(p {u, k) =. sin ka — ku — — — u 3 -f- . . . 



Je (k* — 12) (^î _ 32) . . . (ä* _ Ä— 2 ) 



Ä! 



M" 



und für ein gerades £ 



^ (w, k) = cos k~l — — w 2 -| ^-j, w 4 -f- • • • 



+ fc 2 (k 2 - 2 2 ) (A; 2 — 4 2 ) . . . (k 2 — k—2 ) k 

 ~ "IT - u ' 



Dabei ist allgemein 



<p( — w) =: — <p(w) 



