Analytische Darstellung der Lissajous-schen Figuren. Q 



Diese Gleichungen werden zu analytischen Gleichungen der 

 betreifenden Schwingungscurve, wenn die Functionen <p, ip durch ihre 

 Variablen | oder tj ersetzt werden. Nur muss dies in rationaler Form 

 geschehen. Da aber diese Rationalität von den Zahlen p und q ab- 

 hängt, ob sie gerade oder ungerade Zahlen sind, so wird man dar- 

 nach auch entweder die Function 9 oder die Function ip behalten. 



1. Es seien zunächst p und q beide ungerade Zahlen. In diesem 

 Falle sind die Functionen <p(p) und <p(q) rational, dagegen i> (p) 

 und ifj (q) irrational; diese letzteren muss man somit durch jene 

 ersteren ersetzen. Wir erhalten : 



9° {% P) = cos P s • V (£; 2) rh sin P £ • V 1 — [<P (E 2)J T 



oder in definitiver Form, als Gleichung der betreöenden Schwiugungs- 

 curve 



-2 



qp(|, g) — 2<p (|, g) qp (<ij,p) cos ps -\- <p (rj } p) — sin 2 ^. 



2. Es sei ferner p eine ungerade, q eine gerade Zahl. Dann 

 sind die Functionen <jp(jp) und ty{q) rational, dagegen y(q) uod ip(p) 

 irrational; diese letzteren muss man somit durch jene ersetzen. 



Wir erhalten: 



9> {% P) = cos P £ ■ Vi — [ý (l> 2)] * 4" sin pe . V (I, «) 



oder in definitiver Form als Gleichung der betreffenden Schwingungs- 

 curve 



t/>(£, g) — 2^(1, q).<p(?],p) sinpe + <p(t},p) = cos 2 ps, 



3. Es sei endlich p eine gerade, g eine ungerade Zahl. Dann 

 sind die Functionen i> (p) und tp (q) rational, dagegen cp (p) und #> (q) 

 irrational, so dass diese durch jene zu ersetzen sind. Wir erhalten 



ý(r],p)=:cospe . ^l — [cp (Ç, q)] 2 — sinps . (p (£, q) 



oder in definitiver Form, als Gleichung der betreffenden Schwingungs- 

 curve 



<P&a) + 2y (|,g).^(i?,|>) si n^fi 4-^(^,2») = coa-pe. 



