Analytische Darstellung der Lissajous-schen Figuren. 1 \ 



und erhalten werden kann, so äussern sich die Abweichungen der 

 wirklichen sehr genäherten Werthe dieses Verhältnisses im zuneh- 

 menden (oder eventuell abnehmenden) Phasenunterschied, so dass man 

 beim Experimentiren diese Curvenschaar thatsächlich erhält. 



Aus dieser Seh aar treten nun zwei Curven hervor, welche ana- 

 lytisch einfacher sind als alle die übrigen. Diese Curven werden durch 

 besondere Werthe des Phasenunterschiedes bedingt, welche die Glei- 

 chung der betreffenden Curve wesentlich vereinfachen. Es sind dies 

 die Werthe entweder 



sinjpfz^O, cosjö£ =: +1 

 2 4 6 



0, 



oder 



2n ~~ ' 4p ' 4p ' 4p '••* 



cospe=zO, sinjp£ = +l 

 ? 1 3 5 7 



2jt 4p ' 4p ' 4p ' 4p ' ' 



Die angegebenen Werthe des Verhältnisses -^ — sind zugleich 



die Werthe des Verhältnisses — , falls man es vorzieht mit zeit- 



liehen Differenzen, statt mit Phasendifferenzen, zu rechnen. 



Es lässt sich zeigen, dass durch diese besonderen Werthe von 



— — = -7p— zwei Typen der Schwingungscurve bestimmt werden, 



nämlich ein Typus, bei welchem die Schwingungscurve in eine zu 

 beiden Schwingungsrichtungen symmetrische übergeht, und ein zweiter, 

 bei dem die Schwingungscurve in eine einfachere degenerirt, welche 

 vom schwingenden Punct in der Periode T zweimal durchlaufen wird, 

 so dass der Grad dieser Curve der halbe ist von der allgemeinen 

 Curve. Um diese beiden Curventypen zu bezeichnen, wollen wir die 

 erste als die symmetrische (par excellence), die zweite als die dege- 

 nerirte bezeichnen. 



1. Es seien p, q beide ungerade Zahlen. Für die Werthe 



cosps — O, s'mps — + 1 

 entsteht die symmetrische Curve 



