Zur Krümmung der KegelsohBJttevoluten ;; 



rallel zu a respective b laufen, dann ist e° ein Kegelschnitt, welcher 

 die Kegelscbnittevolute e in K osculiert. Dieser Kegelschnitt e° berührt 

 n in ÜT und ausserdem a, Ď, a°, ö°; ist somit mehr als hinreichend 

 bestimmt. 



Es ist dadurch die Krümmungsmittelpunktskonstruction der 

 Kegelschnittevolute auf die eines Kegelschnittes e° zurückgeführt. 



Die Hyperbel Je bestimmen wir daraus, dass sie centrisch colli- 

 near liegt zu &* für P* als Centrum. Die Axe der Collineation o 

 geht durch P* parallel zu n, da dem Durchmesser l von 7s* in der 

 Collineation die unendlich ferne Gerade entspricht. Dem Pol von l 

 inbezug auf Je* entspricht somit der Mittelpunkt von Je . Der Pol von 

 l ist nun der unendlich ferne Punkt des zu l conjugierten Durch- 

 messers von Je* der, wie schon bemerkt worden ist, senkrecht auf 

 (OP) gerichtet ist. 



Daraus folgt, dass die Gerade (P*K) durch den Mittelpunkt 

 E von Je Q geht; der Punkt E ergibt sich etwa als Schnitt der 

 Asymptote b° mit (P*K), wobei die Gerade b° dadurch bestimmt ist, 

 dass sie durch den Schnittpunkt von o mit der zu t* inbezug auf a 

 symmetrischen, also zu (OP) senkrechten Geraden geht und parallel 

 zu b ist. Daraus folgt, dass P*E= 2 . KP* ist. 



Führen wir noch die Senkrechte durch zu (PO), welche n 

 in H und o in H° treffen möge. 



Es ist OH° = P*E, weshalb (OE) die Collineationsachse o im 

 Mittelpunkte E° von e° schneidet. Der Kreis i, welcher in E° seinen 

 Mittelpunkt hat und durch geht, ist der geometrische Ort solcher 

 Punkte, von denen zu einander normale Tangenten an e° ausstrahlen. 

 Schneidet die Polare von K inbezug auf i die Normale m durch K 

 zu n im Punkte Ř, so ist &K bekanntlich gleich dem Krümmungs- 

 halbmesser von e in K. Es ist also KL •=. ®K. Der über K® als 

 Durchmesser beschriebene Kreis c vom Mittelpunkte R schneidet den 

 Kreis i orthogonal. 



3. Wie schon Mannheim bei einer Ableitung der in Rede ste- 

 henden Konstruktion anführt, haben alle Kegelschnitte 1c, die einander 

 in P osculieren und deren Mittelpunkte auf derselben Geraden (PO) 

 liegen in P vier benachbarte Punkte gemein und bilden sonach einen 

 Büschel (Je) ; die Evoluten sämmtlicher Kegelschnitte in (Je) haben als- 

 dann in K denselben Krümmungskreis. 



Wir lassen den Kegelschnitt Je den Büschel (Je) durchlaufen und 

 sehen zu, wie sich unsere Figur 1 verändert. Der Pun kt O be schr eibt 

 die Gerade (PO), der Punkt H die Gerade n\ da HH°—OH, so 



