Zur Krümmung der Kegelschnittevoluten. 5 



aufgestellten Formel der kinematischen Geometrie. Ich will auch 

 hier eine direkte, für alle Kegelschnitte giltige, synthetische Lösung 

 des aufgestellten Problems geben und aus derselben einige Beziehungen 

 folgern, von denen ich annehme, dass sie von Interesse sind. 



Wir denken uns zuerst (Fig. 2) das Dreieck PKG der vorigen Be- 

 trachtung mit den Punkten/?, L in die unmittelbar benachbarte Lage 

 P'K'G' und R', L' gebracht und die Evolute e durch die Parabel p 

 ersetzt, welche mit ihr vier in K vereinigte benachbarte Punkte 

 gemein hat. Alsdann wird die Evolute q von p die Evolute / der 

 Kegelschnittevolute e im Punkte L osculieren. (Fig. 2.) 



Trägt man von den Punkten einer Parabel auf deren Normalen 

 die halben Krümmungshalbmesser dieser Punkte im entgegengesetzten 

 Sinne auf, so liegen die Endpunkte der so erhaltenen Strecken auf 

 der Leitgeraden der Parabel. 



Daraus folgt für unseren Fall, dass die Gerade r, welche die 

 benachbarten Punkte R, R verbindet, die Leitgerade von p ist. 



Die senkrechte durch K zu r ist somit ein Durchmesser von p. 

 Schneidet diese Senkrechte die Normale m 1 zu m in L im Punkte 

 0\ so findet man, dem Vorangehenden zufolge, den Krümmungs- 

 mittelpunkt N von / im Punkte L dadurch, dass mann auf m 1 die 

 Strecke LN = 3 O'L macht. 



Verbinden wir noch die benachbarten Punkte 6r, G' durch die 

 Gerade g und beachten, dass n die Punkte K, K verbindet, so erkennt 

 man wegen der Aehnlichkeit der Punktreihen R, G, K, L und R', 

 G\ K\ L\ dass r, g, n, m Tangenten einer Parabel s sind, welche 

 m in L berührt. Schneiden wir etwa die Tangenten g und m mit r 

 in R Y respect. R, mit n in K, resp. K und mit der zu m benach- 

 barten Tangente in G resp. Z, so herrscht die Beziehung 



R y G : R y K -RL-.RK 



und da RL = 3 . RK ist, so ist auch R r G = 3 . R r K y . Bezeichnet R 

 den Fusspunkt der Senkrechten von R r auf >w, so ist schliesslich 



R G — 3 . R Q K. 



R C 3 LK 3 



Es ist also -=£-5- = -j- ; da auch -j-^- = -j , so folgt aus der 



Aehnlichkeit der Figuren R GRR r , LKGO\ dass O'G ±g ist. 



Wir erhalten also den Punkt 0' wenn wir g construieren und 

 m 1 mit der durch G geführten Senkrechten zu g schneiden. Die 

 nächste Aufgabe wird also sein, die Gerade g zu construieren. 



