Zur Krümmung der Kegelschnitt evoluten. 7 



Evoluten in K vier benachbarte Punkte gemeinschaftlich halben, bilden 

 einen zu (k) projectiven Büschel. 1 ' 



„Die Krümmungsmittelpunkte der zweiten Evoluten für die Kegel- 

 schnitte k des Büschels (1c) bilden eine zu den Mittelpunkten von k 

 projeetive Punktreihe. u 



6. Wir wollen jetzt einzelne Kegelschnitte aus (k) herausgreifen, 

 für welche sich der zu P gehörige Krümmungsmittelpunkt N der 

 zweiten Evolute leicht konstruieren lässt. 



Im Artikel 2 (Fig. 1) haben wir die gleichseitige Hyperbel k° 

 konstruiert, welche den Kegelschnitt k* im Punkte P* osculiert. 

 Diese Hyperbel ist mit /c* centrisch-collinear für P* als Centrum, 

 o H n als Axe der Collineation. Geschieht es, dass o mit der Tangente 

 £* an &* in P* zusammenfällt, dann wird die Hyperbel k° mit &* 

 vier benachbarte Punkte gemein haben ; der aus k° abgeleitete Kegel- 

 schnitt e° wird die Kegelschnittevolute e hyperosculieren, so dass 

 der Krümmungsmittelpunkt N x seiner Evolute identisch ist mit dem 

 Krümmungsmittelpunkt der zweiten Evolute von k in dem zu P ge- 

 hörigen Punkte L. 



In diesem Falle ist der Kegelschnitt k eine Ellipse, deren Mittel- 

 punkt mit dem Punkte F zusammenfällt; PF ist ein Halbmesser dieser 

 Ellipse, dessen conjugierter Halbmesser zu ihm symmetrisch inbezug 

 auf die Axen von k liegt. 



Die Gerade (FK) ist hier der durch K gehende Durchmesser 

 von e°; schneidet diese Gerade die in L zu m errichtete Senkrechte 

 m 1 im Punkte P, so hat man PÄ^ =r 3 . FL auf m x aufzutragen, 

 um den zu P gehörigen Krümmungsmittelpunkt N t der zweiten 

 Evolute von k zu erhalten. 



7. Kehren wir zu den Betrachtungen des Artikels 5 (Fig. 2) 

 zurück. Greifen wir aus (v) denjenigen Kegelschnitt v heraus, den 

 wir bekommen, wenn der Mittelpunkt O von k unendlich nahe an G 

 rückt, alsdann ist (QP) die Tangente g in G an v und somit schneidet 

 die Senkrechte in G zu (PG) die Gerade m 1 in G' und es ist G'L 

 gleich einem Drittel des Krümmungshalbmessers der zweiten Evolute 

 des entsprechenden Kegelschnittes in (k). 



; _ Rückt O unendlich nahe an P, so degeneriert v in die Geraden 

 t, jn, und die Normale in an v wird parallel zu m r ; die zugehörigen 

 Punkte 0' und L fallen alsdann in's Unendliche, was wohl zu er- 

 warten war, weil für in P auch der Kegelschnitt k degeneriert. 



8. Nun können wir das Problem des Krümmungsmittelpunkts- 

 bestimmung sofort der Lösung zuführen. 



