12 XVII. J. Sobotka : 



Es sei (Fig. 5) für die Ellipse O der Mittelpunkt, V ein Scheitel 

 der grossen, V^ ein Scheitel der kleinen Axe. Die Parallele durch 

 V 1 zu (OV) werde von der Parallelen durch F zu (OV\) in M ge- 

 schnitten. 



Die Senkrechte durch M zu ( VV X ) schneidet bekanntlich die 

 Axen der Ellipse in ihren Krümmungsmittelpunkten K, K x für die 

 Punkte V beziehungsweise V x . 



Bringt man die Gerade (V 1 K) mit der zu ihr senkrechten 

 Geraden (VK X ) in J zum Schnitte, so wird (MJ) die Axe (OV) in 

 22, die Achse (OV r ) in F schneiden, so dass der Krümmungshalb- 

 messer der zweiten Evolute von k, welcher dem Scheitel V entspricht, 

 die Länge 3 . KE und derjenige, welcher dem Scheitel V 1 entspricht, 

 die Länge 3 2^-F hat. 



Bezeichnet nämlich N den Schnitt von (V X M) mit (K x V) so ist 



OK _. \\M V X M __ KE 



OV ~~ \\N ' l\N ~ KV ' 



woraus mit Rücksicht auf (1) in Art. 10 folgt, dass KE — O'K. 

 Analoges ergibt sich für den Punkt F. 



13. Tragen wir auf m x die Strecke LQ 1 = 3 . LG', so schneidet 

 (Q X K) die Gerade (PG) im Punkte O x und der Kegelschnitt 1e v 

 welcher durch P geht, in K den zu P gehörigen Krümmuugsmittel- 

 punkt hat und dessen Mittelpunkt in 1 ist ; hat alsdann die Eigen- 

 schaft, dass seine zweite Evolute in L einen Rückkehrpunkt besitzt, 

 dass also der Krümmungskreis der ersten Evolute e im Punkte Kmit 

 derselben 4 benachbarte Punkte gemein hat. 



Diese Konstruktion ergibt sofort, dass ein solcher Kegelschnitt 

 nur eine Ellipse sein kann. Die Doppelverhältnisgleichheit 



(GF0 1 P)~(G'FLN^) 

 gibt 



(GF0 1 P)=^, 



aus der man leicht die Gleichung herleitet 



r x sin qp = m -\~ 3m cos 2 gp 



in welcher m die Länge P0 1 und ç> den Winkel, den der Durch- 

 messer (PO) mit seinem conjugierten in k x einschliesst, bezeichnet. 



