Zur Krümmung der Kegelschnittevoluten. 13 



Bezeichnen wir noch die halbe Länge des zu (0 L P) conjugierten 

 Durchmessers mit w, die Halbachsenlängen von k l mit a und 6, so ist 



n 



r x Sin <jp — 



2 



3a 2 b 2 



3m cos 2 a> = 3m -=- ; 



mn* 



mit Rücksicht darauf ergibt sich aus der letzten Gleichung 



n A = 4m 2 w 2 — 3a 2 6 2 . 



Eliminieren wir aus dieser Gleichung m auf Grund der Relation 



m 2 -J- n 2 — a 2 -j- ž> 2 , so gelangen wir zur Gleichung 



(1) 5ra 4 — 4 (a z + b 2 ) n 2 -f- 3a 2 & 2 = 0. 



Diese Gleichung gibt uns die Länge des Halbmessers in einer 

 gegebenen Ellipse, dessen conjugierter Durchmesser die Eigenschaft 

 hat ; dass die Kegelschnittevolute in den seinen Endpunkten ent- 

 sprechenden Punkten mit ihrem Krümmungskreis vier benachbarte 

 Punkte gemein hat. Die Auflösung von (1) gibt nach einer kleinen 

 Umformung 



ön 2 — 2 (a 2 -f b 2 ) -f V4e 4 -f a 2 b 2 . 



Für m erhalten wir 



5m 2 = 3 (a 2 -f b 2 ) — V4e 4 + a 2 b l . 



Bezüglich der einseitigen Wahl des Vorzeichens bemerken wir, 

 dass für reelle Ellipsenpunkte nicht m~> a sein kann, weshalb wir 

 in den Ausdruck für m nur das Vorzeichen — und dementsprechend 

 in dem Ausdruck für n nur das Vorzeichen -j- vor dem Wurzel- 

 zeichen berücksichtigen. 



Die auf die Axen der Ellipse bezogenen Coordinaten derjenigen 

 Punkte P, denen Krümmungskreise der Evolute entsprechen, die vier 



