Zur Krümmung der Kegelschnittevoluten. 15 



III. Konstruktion des Kegelschnittes durch 5 benach- 

 barte Punkte einer ebenen Kurve. 



15. Es sei P ein Punkt der ebenen Kurve c, K der Krüm- 

 ln ungsraittelpunkt derselben, L der Krümmungsmittelpunkt der ersten, 

 N der Krümmungsmittelpunkt der zweiten Evolute von c; der frag- 

 liche Kegelschnitt heisse wieder Je. 



Trägt man (Fig. 6) ein Drittel von (LK) auf (LK) nach KG 

 auf, so ist (PG) bereits ein Durchmesser von Je; errichtet man 

 weiter in G die Senkrechte zu diesem Durchmesser und schneidet 

 sie in G' mit {LN), macht auf (LN) die Strecke NQ = 3 . LG', so 

 schneidet die Gerade (QK) alsdann (PG) im Mittelpunkte O des 

 Kegelschnittes Je. 



Trifft die Senkrechte in O zu (PO) die Gerade (PK) in i7, so 

 hat man KH in Z7 zu halbieren und einen Kreis durch O zu führen, 

 der U zum Mittelpunkt hat. Derselbe schneidet (PK) in den Punkten 

 A, -B und (0-á), (OB) sind die Axen von k, deren Begrenzung nun 

 nach bekannten Regeln leicht konstruirt werden kann. Der Grund 

 der soeben angeführten Konstruktion liegt darin, dass das im Mittel- 

 punkte des Kegelschnittes Je, zum Durchmesser PO gefällte Lot und 

 eine Axe desselben auf der Normale des Punktes P eine Strecke 

 einschneiden, welche gleich ist der Entfernung, welche der Schnitt 

 der zweiten Axe mit der Normale vom Krümmungsmittel punkt K hat. 



16. Besitzt die erste Evolute von c im Punkte K eine Spitze, so 

 dass L = K ist, dann wird der Punkt P= F auf c ein Scheitel von 

 Je werden. 



Wir tragen (analog der Figur 4) auf irgend eine Parallele zu 



( VK) die Strecke ED — ~ KL auf, ziehen die Gerade (KD) und 



o 



bringen dieselbe mit der durch V zu (KE) gezogenen Parallelen im 



Punkte J zum Schnitte. Alsdann schneidet (JE) die Gerade (VK) 



& 2 



im Mittelpunkte O von Je. Setzen wir OV=a, so ist VK= ' 



woraus die Länge b der halben Nebenaxe leicht ermittelt wird. 



