Zum NormaJenproblem der Kllipse. 3 



den Axen parallel laufen, überdiess aber zwei Parabeln, (Irren Axen 

 resp. parallel sind zu den gleichen conjugirten Durchmessern der Ellipse. 



3. Betrachten wir die soeben erwähnte gleichseitige Hyperbel, mit 

 deren Hülfe schon Apollonius von Perga das Normalenproblem löste. 



Trifft die durch p zu einer Ellipsenaxe, etwa bb lt gezogene Pa- 

 rallele P die Ellipse E in den Punkten m, m f , und trifft dieselbe eine 

 durch p gezogene von P um unendlich wenig abweichende Gerade Q 

 in », »', und kommen diese Punkte durch eine infinitesimale Drehung 

 um p, welche Q nach P bringt, in die Lagen v, v', so sind m, m' und 

 v, v zwei Paare der vom Büschel (E, E -f- ÔE) auf P ausgeschnittenen 

 Involution. 



Da die Tangenten mn und m'n' gegen P gleich geneigt sind, 

 ersieht man die Aehnlichkeit der Dreiecke pmn und pn'm', woraus 



pm. pm' — pn. pn' ', 



also auch 



pm. pm' = pv. pv' ; 



p ist somit der dem unendlich fernen Punkt von P entsprechende Punkt 

 der Involution, somit ein Punkt der Apollonischen H\perbel. 



Nur folgt leicht, dass diese Hyperbel durch den Ellipsenmittel- 

 punkt geht. Zieht man den Durchmesser op, der die Ellipse in den 

 Punkten m, m' treffen möge, zieht ferner durch p eine von ihm un- 

 endlich wenig abweichende Gerade Q, die die Ellipse in n, n' schneiden 

 möge, und führt man durch eine unendlich kleine Drehung um p 

 die Gerade Q in die Lage op, gleichzeitig », n' in die Lagen v, v', 

 so sind m, m' und v, v' wiederum zwei Paare der vom Büschel 

 (E, E -f- ÔE) auf der Geraden op ausgeschnittenen Involution; somit der 

 in ihr mit p gepaarte Punkt ein Punkt der Apollonischen Hyperbel. 

 Dass diess der Mittelpunkt ist, zeigt die Gleichheit der Doppel- 

 verhältnisse (mm'pv), {m'mov'). In der That erfordert die Gleichheit 



mp mv m'o m'v' 



m'p ' m'v mo ' mv' ' 



da =: — 1 und lim — - = — 1 ist. dass 



mo mv 



mp mv 

 m'p m'v' 



