Zum Normalenproblem der Ellipse. 5 



diess mit (1) verglichen zeigt, dass die Verhältnisse — und — 



mr mh 



nur durch das Zeichen differiren, d. h. dass r zu h harmonisch ist 

 bezüglich m, m'. 



Ist / ein Brennpunkt von E und nimmt manp/ für die Sekante /', 

 so fällt h nach /, und der zu / harmonische Punkt r liegt auf der / 

 entsprechenden Directrix von E. 



Zieht man durch p eine Seitante m E, fällt von ihrem Pol g 

 auf sie die Senkrechte gh, so schneidet die Polare von h die Sekante in 

 einem Punkte der Apollonischen Hyperbel; speciell liegen auf dieser 

 Hyperbel jene zwei Punkte, in welchen die Verbindungslinien von p mit 

 den Brennpunkten die zugehörigen Directricen treffen. 



Hieraus ergiebt sich sofort die gewöhnliche Erzeugung der 

 Apollonischen Hyperberbel. Da sowohl h, r, als auch g, r polar conju- 

 girte Punkte sind, ist gh die Polare von r. Bezeichnet l den un- 

 endlich ferner Punkt von gh, so geht seine Polare L durch r, ist 

 also der Durchmesser or, und der conjugirte Durchmesser geht 

 natürlich durch l, d. h. er ist senkrecht zu P. Der Punkt /• er- 

 scheint somit als Schnittpunkt des Durchmessers L mit der von p 

 auf den conjugirten Durchmesser gefällten Senkrechten P; diess ist 

 aber die gewöhnliche Erzeugung der Apollonischen Hyperbel. 



4. Die Construction der vier von p zur Ellipse gehenden Nor- 

 malen kommt nun auf die Bestimmung der Schnittpuucte von E mit 

 der durch hinlänglich viele Punkte festgelegten Apollonischen Hyperbel 

 zurück, und ist somit eine Aufgabe vierten Grades. 



Mein Freund Prof. C. Pelz hat auf den interessanten Umstand 

 aufmerksam gemacht, dass es zwei Ellipsendurchmesser giebt, für deren 

 Punkte p das Normalenproblem in quadratische Aufgaben zerfällt, 

 und die Construction der Normalen in äusserst einfacher Weise durch- 

 geführt. *) Auch dieses Ergebniss kann sehr leicht auf Grund des 

 Vorhergehenden abgeleitet werden. 



Es bezeichne a den unendlich fernen Punkt eines der beiden 

 gleichen conjugirten Durchmesser von E, etwa des Durchmessers oc, 

 und p sei irgend ein Punkt des zu dem anderen od errichteten senk- 

 rechten Durchmessers op. 



*) C. Pelz, Zum Normalenproblem der Ellipse, Sitzb. d. kais. Akad. d. Wiss. 

 in Wien, 1887. Vergl. die durch diese Abhandlung hervorgerufenen Arbeiten von 

 Lauermann, Mertens, Schoute und Tesar, ibid. 1889 und 1892. 



