119 



Poněvadž plocha jt 2 jest samodružná, jsou ony křivky reálné, 

 jsou-li na Jř 2 reálné přímky. 



Přímky jedné soustavy jsou tětivami křivek, v něž se trans- 

 formují, neboť v jednom bodě nejméně se přímka povrchová a s ní 

 sdružená křivka protínati musí, poněvadž jsou na téže ploše jt 2 . 

 Avšak protínají-li se v jednom bodě, protínají se ještě v bodě s ním 

 sdruženém*), t. j. přímky plochy ie 2 jsou tětivami křivek, v něž se 

 transformuji. 



41. Pozorujme tři body a*, na př. « x , a 2 a a 3 a kterékoli dva 

 vrcholy t čtyřstěnů z/ x a A^ jichžto spojnice prochází bodem a 4 . 

 Z těchto pěti bodů jsou vždy jen tři v jedné rovině a prochází 

 tudíž jimi nekonečné množství prostorových křivek 3. řádu. Každá 

 z těchto křivek jest křivkou samodružnou (24.), t. j. s každým jejím 

 bodem p jest sdružen bod p f téže křivky. Na křivce K 3 vzniknou 

 tímto způsobem dvě soumístné projektivně řady (1.) v poloze involuční, 

 jichž společnými body jsou ony dva body t. Z toho vysvítá, že přímky 

 pp' tvoří plochu 2. řádu.**) 



Na této ploše jsou: 



a) tečny křivky K 3 ve dvou bodech í, poněvadž každý z nich jest 

 bodem samodružným, 



b) spojnice bodů a u a 2 a a s s body, v nichž K 3 protíná ro- 

 viny «j, cc 2 a a 3 , poněvadž body a h a (K 3 a k ) jsou sdružené; 



c) spojnice ostatních dvou průsečníků křivky K 3 s každou ze 

 tří samodružných rovin ď, které neprocházejí žádnou z přímek ^4 J2 , 

 -4,3, A 23 a přímkou S určenou vytčenými dvěma body t. 



Z toho jest patrná věta: 



Sestrojíme-li křivku iT 3 procházející třemi vrcholy některého ze tří 

 čtyřstěnů A, A v a z/ 2 hexaedr cílné konfigurace, na př. vrcholy a J; « 2 , 

 a 3 čtyřstěnu A a kterýmikoli dvěma vrcholy t druhých dvou ctyr- 



*) Jest patrno všeobecně, že je-li bod m bodem společným dvou sdružených 

 útvarů, i bod m' jest jich společným bodem. Křivka dvěma spolu sdru- 

 ženým plochám společná, jest tedy vždy samodružná. 

 **) Cremona-Curtze „Grundzüge einer allg. Theorie der Oberfl." str. 55. Ostatně 

 jest tvrzení toto patrné z následujícího: Promítneme-li řady na křivce -E, 

 z kteréhokoli jejího bodu na libovolnou rovinu, obdržíme za průmět této 

 křivky křivku 2. řádu, na níž jest kvadratická involuce. Spojnice bodů 

 sdružených, t. j. průměty přímek p>p' ', procházejí tudíž jediným bodem. Po- 

 něvadž to platí ať jest kterýkoli bod křivky K 3 středem promítání, jest 

 plocha přímek pp' druhého řádu. 



