180 



10. Aus den in vorhergehenden Absätzen abgeleiteten Eigen- 

 schaften geht hervor, dass das System der Punkte c mit dem Systeme 

 der zugehörigen Kiümmungsmittelpunkte g quadratisch verwandt ist, 

 woraus andere Sätze auf bekannte Weise abgeleitet werden können. 1 ) 



C. 



1. Um die Punkte der Curve U, welche bei der in B. ange- 

 fühlten Bewegung von einer beliebigen Curve E der Ebene ç um- 

 hüllt wird, zu ermitteln, verfahren wir auf folgende Weise: 



Die einzelnen Lagen der Curve E fassen wir als Projectionen 

 ebener Curven E x einer Fläche E auf, welche entsteht, wenn sich eine 

 Curve E x so bewegt, dass zwei mit ihr fest verbundene Punkte a x 

 und h i (siehe B, 2) die Curve A i resp. B x durchlaufen, wobei ihre 

 Ebene stets mit der Ebene % parallel bleibt. Die zur Ebene n sen- 

 krechten Berührungsebenen der Fläche E berühren sie in den Punkten 

 u x . . ., deren Projectionen die verlangten Punkte u . , . der Curve 

 U sind. 



Weil die Berührungsebene der Fläche E im Punkte u x zur 

 Ebene it normal ist, so vereinigen sich in ihrer Spur die Projectionen 

 aller Tangenten der Fläche E im Punkte u x . Unter diesen Tangenten 

 ist a) die Tangente der zugehörigen Curve E x und h) die Tangente 

 der Curve, welche zu ihrer Projection die Bahn hat, welche bei der 

 in B) beschriebenen Bewegung vom Punkte u durchgelaufen wird. 

 Da aber die Projection dieser Tangente senkrecht zu du ist (vergl. 

 B, 2), so bekommt man den Punkt u als Fusspunkt der Normale Q, 

 Avelche aus dem momentanen Drehungspol d auf die zugehörige Lage 

 der Curve E gefällt wird. 



2. Um den Krümmungsmittelpunkt der Curve U im Punkte u 

 zu finden, betrachten wir die einzelnen Lagen der Evolute F der 

 Curve E als Projectionen der Curven F u von welchen jede mit der 

 zugehörigen Curve E x in einer Ebene liegt. Die Curven F x bilden 

 dann eine Fläche F. Aus jedem Punkte d x der Curve D x (vergl. B, 4) 

 werden nun auf die Fläche F parallel zur Ebene % Tangenten Q x 



l ) Die Grundpunkte des ersten resp. zweiten Systems sind dabei der Punkt 

 d und die zwei ihm unendlich nahen Punkte des Kreises K' resp. K". 

 Jeder Punkt der zwei imaginären Geraden, welche den Punkt d mit den 

 unendlich fernen imag. Kreispunkten der Ebene n verbinden, entspricht 

 bei dieser Verwandtschaft sich selbst. (Vergl. Schönflies „Geom. der Be- 

 wegung", S. 12.) 



