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formules que nous allons faire connaître nous permettront, natu- 

 rellement, de retrouver les résultats déjà connus ; elles nous four- 

 nissent aussi quelques résultats nouveaux. Nous pensons qu'elles 

 seront avantageusement consultées pour pousser plus à fond les re- 

 cherches que provoquera certainement la transformation orthotan- 

 gentielle, l'une des plus simples que l'on puisse imaginer, quand on 

 fait correspondre une droite à une droite. Enfin, dans un dernier 

 paragraphe, nous étendons à l'espace l'idée de cette remarquable 

 transformation. 



2. Etablissement des principales formules intéressant la transfor- 

 mation orthotangentielle. — Nous prenons la droite XY, l'axe de la 

 transformation, pour axe des ce, et pour axe des y une perpendicu- 

 laire quelconque à cette droite. 



Considérons (fig. 1) une courbe U; la droite z/, que nous sup- 

 posons tangente à cette courbe, pourra être représentée par l'équation 



my -f- x — ® ~ 0, | z/, 



(1) 



® désignant une fonction du paramètre variable m. L'équation 

 de 4' est donc 



1 y — = 0,1^ (2) 



m 



Cherchons maintenant les coordonnées des points de contact 

 M, M. En cherchant l'enveloppe de ^/, il faut prendre la différen- 

 tielle du premier membre de l'équation (1), par rapport à m. Le 

 calcul donne immédiatement 



x x = ® — m®', 



M. 



(3) 



On trouve de même, pour les coordonnées de M', 



x 2 — ® -\- m®' 

 y 2 — m 1 ®' 



De ces formules, on déduit 



M. 



dy x rr ®"dm, 

 dx x — m®"dm, 



et, aussi, 



(5) 



dy 2 = (2 ®' -\- m®") mdm i 

 dx 2 = (2 ®' -f- m®") dm ; 



(4) 



(6) 



16" 



