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que de tangentes communes à P et à řT"; ainsi, la classe de V est 

 égale à 2 ». 



Pour démontrer que l'ordre de V est égal à 2w ~j- »» on peut 

 raisonner de diverses façons; nous eiť indequerons deux, l'un et 

 l'autre très simples. 



Soit M un point commun à F et à une droite quelconque A ; 

 cherchons combien il existe, sur F, de points tels que n. 



A cet effet observons qu'au point M correspond une parabole 

 Pm remplissant les conditions suivants: 1° elle est tangente à zP, 

 droite transformé de 4 2° à la courbe U, 3° à l'axe XY, 4° à la 

 droite de l'infini au point où elle est rencontrée par les perpendicu- 

 laires à XY. On peut donc considérer P M comme tangente à quatre 

 droites et à la courbe U. Les caractéristiques ft, v d'un réseau de 

 coniques tangentes à quatre droites sont: j* = 2, v = 1 ; or l'on sait ') 

 que, dans un pareil système il y a 



np -\-mv 



coniques du réseau tangentes à une courbe U, d'ordre m et de la 

 classe n. Il y a donc, en résumé, 2n -\~ m paraboles telles que Pm 

 et, par conséquent 2n -f- m points communs à V et á z/. En d'autres 

 termes, l'ordre de V est égal a 2n -j- m. 



Le raisonnement que nous venons d'exposer est très général et 

 on l'applique avec succès dans un grand nombre de cas analogues ; 

 il offre seulement l'inconvénient de prendre, pour point d'appui, le 

 théorème de Chasles, rappelé plus haut. Voici, lorsqu'on veut éviter 

 l'emploi de ce théorème, une autre démonstration. 



Cherchons le nombre de points qui sont communs à F et à 

 l'axe XY. 



A une droite â tangente h U et perpendiculaire à XY au point 

 K, correspond, pour F, la droite XY] de plus, le point de contact 

 est le point K lui-même (§ 3). Il y a « droites telles que ô ; il y 

 a donc déjà 2n points communs à F et à XY. D'autre part F 

 passe par les points communs') k U et XY (§ 3); ces points 



l ) Chasles, Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 



') En ces points, les courbes U, V se coupent orthogonalement. C'est une 

 remarque évidente. Il y en a plusieurs autres que le lecteur fera de lui — 

 même; ainsi: 1° à un point d'inflexion de U, correspond, dans U, un point 

 d inflexion; 2° à un point de rebroussement de U, correspond aussi un point 

 de rebroussement de V. 



