sont en nombre m; il y a donc, finalement, 2n-fm points communs 

 à XY et à F. D'ailleurs, la propriété signalée au paragraphe (3), 

 propriété que nous venons d'invoquer à deux reprises différents dans 

 la démonstration que nous développons, prouve qu'il n'existe aucun 

 autre point commun à XY et à V, à distance finie ou infinie. Con- 

 cluons donc que l'ordre de V est égal à 2w + m, résultat conforme 

 à celui que nous avait donné le théorème de Chasles. 



6. Remarque. — En appliquant le théorème précédent, il faut 

 bien observer que les nombres qu'il fournit sont susceptibles d'abais- 

 sement dans certains cas particuliers. 



Ainsi, comme l'a d'ailleurs fait remarquer M. d'Ocagne, 1 ) si Ü 

 est p fois tangente, soit à la droite de l'infini, soit a l'axe XY, la 

 classe de V est abaissée de p unités. 



L'équation de A étant prise sous la forme 



celle de A' sera 



«f , (0A(*) - yfl(ť) +Ut)f 3 (t) = o. 



Cette équation est, en général, du degré 2n par rapport à t, si 

 Vautre est supposée du degré n. Mais si / t et f 2 admettent le 

 facteur commun (t — ay, l'équation de A' s'abaisse de p unités. Cette 

 conclusion subsiste, quand on suppose que f % et f 3 ont (t — a)? pour 

 facteur commun. Dans le premier cas, A est p fois tangente à la 

 droite de l'infini; elle est, au contraire, p fois tangente à l'axe XY, 

 dans la seconde hypothèse. 



7. Des aires dans la transformation orihotangentielle. — Pre- 

 nons pour origine un point quelconque de l'axe XY, et proposons 

 nous d'évaluer les aires 2),, £ 2 des secteurs ayant ce point pour 

 sommet et correspondant, respectivement à U et à sa transformée V. 



De la formule 



x * ' 



on déduit 



') loc. cit., p. 89. ; les remarques présentes sont énoncées sans démonstration. 



