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in ein. mu auf dóm Berührungsparallelkreise liegenden Punkte berühren 

 müssen, so reducirt sich unser Problem auf die Verzeichnung einer 

 Tangente an die Isophote einer Umdrehungsfläche zweiten Grades, 

 die selbst wieder eine Curve vierter Ordnung ist. Nur in besonderen 

 Fällen, wenn beispielsweise die Isophote in die Selbstschattengrenze 

 übergeht, degenerirt die Curve vierter in eine zweiter Ordnung und 

 lässt eine einfachere Tangentenconstruction zu*). 



Ein einfacheres Verfahren, welches gleichzeitig den Zusammenhang 

 zwischen den besonderen Punkten des Isophotensystems und der Krüm- 

 mung der Rotationsfläche scharf beleuchtet, glaube ich in Folgendem 

 erklären zu dürfen. 



Ich benütze hiebei als die längs eines Parallelkreises 

 osculirende Hilfsfläche eine Ringfläche — Torus, — 

 ohne dieselbe zu zeichnen. Die Meridiankreise der einzelnen 

 Toren sind Krümmungskreise der Meridiancurve der Rotationsfläche, 

 die Evolute der Meridiancurve ist somit der geometrische 

 Ort der Mittelpunkte der Meridiankreise der einzelnen 

 Toren. — 



Die Tangentenbestimmung an einen Punkt der Isophote einer 

 beliebigen Rotationsfläche reducirt sich hiemit auf die Lösung derselben 

 Aufgabe bei einem Torus. 



Nun ist aber bekanntlich**) die Projection einer Isophote des 

 Tonis auf eine zur Rotationsaxe normale Ebene eine Konchoide 

 jener Ellipse als Gr un d eu r ve, als welche sich die gleichnamige 

 [sophote einer mit dem Torus concentrischen Kugel projicirt, wenn 

 der Radius der letzteren gleich ist dem Radius des Torus-Meridian- 

 kreises. Als Pol ist die Projection der Rotationsaxe, als 

 constante, dieKonchoide char acterisirende Differenz 

 zwischen den Längen der entsprechenden Leitstralen der Konchoide 

 und der Grundcurve ist der Abstand des Mittelpunktes des Torus- 

 Meridiankreises von der Rotationsaxe aufzufassen. 



Führt man durch den Pol einen beliebigen Stral, der somit die 



Grundcurve und Konchoide in zwei Paaren einander entsprechender 



'unkte trifft, (die auch imaginär sein können), und errichtet in einem 



leliebigen Paar einander entsprechender Punkte die Normalen an beide 



Staudigl (Sitzungsb. d. Ak. d. Wiss. Wien, Band 68, Abth. 2, 1873, pag. 228), 

 Pelz (ebendaselbst, b. 79, Ab. 2, 1879, pag. 471). 



leiebe: Dr. Christian Wiener: Lehrbuch der darstellenden Geo- 

 metrie." Leipzig, Teubner 1887. II. Band, pag. 227. 



