Z těchto tří typů jen při prvých dvou může dvojná křivka 

 degenerovati ve dvě přímky reálné. Závisí to při obou na splnění 

 jedné podmínky, k níž při typu druhém řadí se ještě ta, aby hyper- 

 bola tvořící pronikala rovinu hyperboly řídící v bodech reálných. 



Pro zjednodušení výpočtu volme roviny křivek obou soustav 

 k sobě kolmé, v typu prvém na místě ellipsy řídící a tvořící křivky 

 kruhové, v druhém na místě hyperboly řídící a tvořící dvě hyperboly 

 rovnoramenné o stejnosměrných osách reálných. 



Jsou-li nad to obě kruhové křivky a obě hyperboly shodný, 

 obdržíme, jak hned se dokáže, plochy, jichž dvojné křivky vykazují 

 žádanou degeneraci ve dvě přímky reálné. 



Volbou takových dvou souměrných tvarů nestane se v úvahách 

 našich ujma všeobecnosti, neboť přiměřeným užitím zákona příbuz- 

 nosti z těchto tvarů zvláštních lze odvoditi všechny plochy posouvání 

 čtvrtého stupně, jichž dvojné kuželosečky ve dvé přímek reálných 

 degenerují. 



Obraťme se nyní k rovnicím obou těch tvarův. 



V prvém případě jsou křivky obou soustav shodné křivky kru- 

 hové o poloměru r. Křivka řídící (geometrické místo středů křivek 

 soustavy druhé) budiž v rovině XY soustavy souřadné pravoúhlé, se 

 středem v počátku ; křivka tvořící budiž v rovině osnovy XZ. Rovnice 

 plochy kruho-kruhové zní pak takto: 



z 2 -f- (x + V'- 2 — y 2 ) — r 2 — 0. (1) 



V případě druhém jsou na místě křivek kruhových rovnoramenné 

 hyperboly o poloose r, i bude rovnice této plochy hyperbolicko- 

 hyperbolické zníti: 



z 2 — (x qp Y^fP) 2 _j_ r 2 — 0. (2) 



Křivky dvojné těchto ploch obsaženy jsou v rovině YZ. Rovnice 

 jejich obdrží se pro cc — O a zní v obou případech: 



tf — z 2 — 0. 



Stvrzeno tím, že křivka dvojná degeneruje ve dvě přímky reálné. 

 Tyto jsou v případě daném k sobě kolmý; úhel jejich osou Y se 

 rozpoluje. 



Obecná plocha komplexní, řečená meridialná, příslušná kom- 

 plexu druhého stupně, má, jak známo, v konečnu přímku dvojnou. 



