Theorie der Potenz- und Kombinations-Deteraiinanten. 



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5 S l ) 



^2 ' ' 



• • i s n — i 



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5 S 2 Î 



S 3 1 ' 



■ • •> $n 



S 2 



1 S S ' 



* 4 ,- 



• • j Sn+1 



S n — i , Sn } S»+l ? • • • j S2n— 2 



= 4 n 



(3) 



annimmt, wobei gleichzeitig 



J n = [(a 2 — OjXötg — aj)(a 3 — a 2 ) .. . . (a w — a„_i)] 2 (4) 



zu gelten hat. 



Diese zwei Formeln bilden nun die Praemissen zur Ableitung 

 des bekannten Theorems Borchardt's 7 ) betreffs der Qualität der 

 Wurzeln einer algebraischen Gleichung 



f(x) = X n -\- C^- 1 -f C 2 X n ~ 2 -f . . . -f C n - X X -f- Č n Z=L 0, (5) 



falls die sämmtlichen Koëfficienten 



C\ > c 2 , c 3 , . . . , c n 

 reelle Zahlen vorstellen und die n Elemente 



LI-, , tln } (-In } • • • ) t*7î 



als zugehörige Gleichungswurzeln angenommen werden. 



Da nämlich alle Wurzeln in dem Produkte (4) auftreten und 

 dasselbe durch die symmetrische Determinante (3) ausgedrückt erscheint, 

 deren Elemente sich aus den Koëfficienten Ck zusammensetzen, indem 



m m — 2 m — 3 



-...±(K m ^K 1 )^K m , 8 ) (6) 



7 ) Sieh dessen „Gesammelte Werke", I. pag. 24. 



8 ) Dass man statt dieser Kombinationsdeterminanten enthaltenden Formel 

 (6) setzen kann 



tti,l ,0 ,...,0 

 2c 3 , c x , 1 , ..., 



3Cg , C 2 



..., 



(7) 



wird nur nebenbei bemerkt, jedoch hervorgehoben, dass unsere, früher für x» 4-t/» 

 anmerkungsweise mitgetheilte Formel in der allgemeinen Relation (6) enthalten ist. 



Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe. 1897. 2 



