2 V. K. Küpper: 



Kommt auf jeder der oo"(7 2 ' ^ + , ' wenigstens eine B vor? oder 

 sind alle C 2n + V als & 2n + v anzusehen? 



Seit über 50 Jahren ist diese Frage auf Grundlage eines durch- 

 aus unhaltbaren Raisonnements mit „Ja" beantwortet worden: 



Wir werden einsehen, dass die Bejahung nicht unbedingt statt- 

 finden darf: 



Aus der Bedeutung von «, ß erhellt, dass die Mannigfaltigkeit 9ft 

 der & 2n +" dann, und nur dann ihren Maximalwerth a-\- ß = (i erreicht. 

 wenn nicht auf jeder & 2n + v noch unzählige B auftreten. 



Hierin liegt also eine unerlässliche Bedingung für die Beja- 

 hung : 



a) Wir zeigen zuerst, dass dieselbe erfüllt wird, wenn die Gß 

 sich normal zu den oo a (P n + v verhalten, auf 'welchen sich etwa B 

 befindet. 



Die Annahme des normalen Verhaltens des Gß ist nämlich un- 

 vertäglich damit, dass jeder Punct E einer beliebigen (£j der oo«(E 2 "+" 

 einer Ergänzungsgruppe auf ßi angehört: 



Denn wäre dies der Fall, so müsste auf jeder der oo«- 1 durch 

 E möglichen (E 2n+V eine Gß sein, zu welcher E gehört. 



Da aber E nur zu <x>P- 2 Gß gehört; und eine solche Gß auf ge- 

 nau oo a -ß(ü 2n + v liegt, so könnten überhaupt höchstens 



ooa-ß+ß-2 — ^a -2(J2n+v 



durch E gehen. 



Durch diesen Widerspruch erkennt man in dem normalen Ver- 

 halten der Ergänzungsgruppen eine hinreichende Bedingung dafür, 

 dass jede der oo^C 2w +* wenigstens eine B trägt, d. h. eine d 2n +* ist. 



b) Wir unterstellen zweitens, dass die Ergänzungsgruppen Gß 

 durchwegs anormal bezüglich der (P n + r liegen, d. h. dass für die Man- 

 nigfaltigkeit x der durch eine Gß gehenden d 2n + v die Ungleichung 



x"> a — ß 

 besteht. 



„Alsdann müssen auf jeder der oo a (í 2n + v unendlich viele B sein." 

 Denn andernfalls würde, da durch B und irgend eine Gß immer eine 

 (£2n+ v existirt, durch Zählung aller auf den oo a d 2n + v vorkommenden 

 B keine a übersteigende Mannigfaltigkeit derselben erhalten. Und 

 weil hiebei Ueberzählungen stattfinden, so lässt sich mit Rücksicht 

 auf diese ein Maximum ß 1 für die überhaupt möglichen B ableiten. 

 Irgend eine B wird nun oo^-mal gezählt, da sie auf oo«(S 2w +>' liegt. 



