Note zur projectiven Erzeugung der 2n + v . 3 



Mithin hat man ß t -f- x ^ « ; folglich wegen x > a — ß 

 ß 2 -f- « — /3 < «, oder & < 0. 



In der That existiren oo/ ; Gruppen B ; demnach sind die beiden 

 Annahmen: Anormale Lage der G ß gegen die oo«(p' i+v , und Nicht- 

 existenz von unendlich vielen B auf jeder dieser & 2n + v unvereinbar. 

 Hieraus geht klar hervor, dass die ausdrückliche Festsetzung, „dass 

 nicht alle Ergänzungsgruppen anormal zu den durch eine B gehenden 

 (£ 2n + r Hegen 11 eine gebotene Determination für den Satz ist, dass auf 

 jeder der oo"C 2n + v wenigstens eine B auftritt. 



c) Um nun die anormale Lage der Gß auszuschliessen, verfahren 

 wir folgendermassen : 



Wir legen durch B und G ß die (£*"+?. „Hat G ß anormale Lage 

 bezüglich aller der durch B möglichen oo ri (P M + v , so muss Gß auch 

 anormal zu allen den 0+" liegen, die G ß enthalten." 



Beweis. Nach der Voraussetzung gibt es in G ß nothwendig 

 ß — 1 Puncte <p\ so dass alle (£ 2n +", welche sie aufnehmen, auch die 

 ganze Gruppe G ß enthalten werden. Nehmen wir jetzt eine C£ des 

 Büschels (B ) mit einer C n + r an, welche letztere die <?' enthält, so 

 muss diese die G ß ganz aufnehmen, woraus das Behauptete folgt. 



Die Gß wird demnach normal bezüglich (P n + v sein, wenn sie nicht 

 anormal zu den Curven C n + V liegt. 



Erstens. Das anormale Verhalten der G ß zu C n + V ist unmöglich, 

 wenn v ^ n — 3 ist. Denn die B, welche G ß enthält, hat normale 

 Lage für alle Curven von höheren als der 2n — 3-ten Ordnung, und 

 die B ist Minimalgruppe für alle C 2n ~ 3 , so dass auch bei v zun — 3 

 die in B befindliche G ß normal zu (7 2M ~ 3 liegt. Also ist bei v ^ n — 3 

 die obige hinreichende Bedingung stets erfüllt. 



Ziveitens. „Ist v <^n — 3, so erheischt anormale Lage der G ß 

 zu C n +>', dass die 3n — 2 Puncte f auf einer C a ~ v ~ z liegen/' 



Beweis. Liefert G ß die Basis B, so sei C^ eine irreducible Curve 

 des Büschels (B). Legt man alsdann durch G ß irgend eine 0+" und 

 schneidet mit ihr Q, so muss der erhaltene Restschnitt auf eine 

 C n ~ 3 fallen, wegen des supponirten anormalen Verhaltens. Nimmt man 

 als 0+" eine C n des Büschels B, nebst einer C" der Ebene, so folgt 

 der Satz sofort. 



Wäre demnach eine C n - V ~~ 3 durch die/ ausgeschlossen, da müssten 



die Gß normal bezüglich C n +" liegen, und die hinreichende Bedingung 



würde befriedigt. 



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