Note zur projectiven Erzeugung der C 2n + V . g 



B auf jeder (SM* auf, so wird M — p, andernfalls wird Wl <: {i 

 ausfallen. Wir leiten alsdann ebenso wie unter I. die Sätze ab: 



1. Wenn die Ergänzungsgruppen normales Verhalten zu den 

 QO a(pn+v 0eig en ^ s0 hönnen nicht auf jeder dieser Curven unzählige B 

 sein. Es muss also 9Jř = ft werden. 



Dies ist die allgemeinere hinreichende Bedingung für tyfl — [i. 



2. Wenn die Gß durchwegs anormal bezüglich der (£ 2m + v liegen, 

 so müssen auf jeder Curve unzählige B existiren, und 3ft <; p sein. 



3. Bei anormaler Lage aller Gß zu den (£ 2w +", muss auch jede 

 B anormal zu den C n+V liegen. 



4. Bei normaler Lage der B gegen C n + V muss die hinreichende 

 Bedingung erfüllt sein. 



Dies ist die specielle hinreichende Bedingung für das Stattfinden 



Da eine B der vollständige Schnitt zweier C n ist, so wird diese 

 specielle Bedingung stets befriedigt, sobald v > n — 3. 



Beispielsweise immer dann, wenn » = 3, v > 0. 



„ Alle C Q + y mit 7 Doppelpuncten D sind S 6 +'', wenn v > 0." 



B) "Wir untersuchen den kritischen Fall : v — 0. 



Die Curven C 2n mit 3w — 2 D. 



Die Ausprüche 1., 2. behalten ihre Geltung; nur ist betreffs 1. 

 zu bemerken, dass die supponirte normale Lage der Gß zu den durch 

 eine B gehenden oo«(£ 2n unmöglich sein muss, weil wir wissen, dass 

 wirklich oo 1 ^ auf jeder der oo ö (P n vorhanden sind. 

 (a. a. 0. II, 2. Lehrsatz.) 



Da wieder die Mannigfaltigkeit ^ der C 2n mit den Doppelpuncten 

 D genau cc-\-ß wird die Mannigfaltigkeit iffl der (£ 2w höchstem a-{~ß — 1 

 werden kann, so hat man 9ÏÏ <; k a, 



d. h. es gibt unter den©o"C 2n unzählige, welche keine B haben. 



Aber man kann leicht direkt darthun, dass die Gß anormal be- 

 züglich der oo« in Betracht kommenden (P" sein müssen; dass dann 

 zufolge 2. unzählige B existiren, und 3JÎ <. (i wird : (i\* sei eine Curve, 

 die ausser B die Ergänzung G'ß enthält. 



Wir schneiden sie mit einer zweiten (£ 2n , bestehend aus einer 

 C* des Büschels (B ) und einer C\ des Büschels (B), welcher durch 

 G'ß bestimmt wird. Wenn hiebei der erhaltene Restschnitt auf eine 

 adj. C 2n ~ 3 fällt, so muss G' ß anormal zu den £ 2n liegen. Dieser Rest- 

 schnitt besteht aber aus 2 Gruppen von je n 2 — (3w — 2) Puncten, 

 von denen jede mit den D eine B liefert. Jede dieser B ist Minimal- 



