12 V. K. Küpper: 



Im Hauptsatz 3. war normales Verhalten der D zu den C n vor- 

 ausgesetzt, alsdann liegen die B sicher normal bezüglich C' l+V , und 

 es wird 9JČ = a, was wir mit den Worten „B liegt normal zu den sie 

 aufnehmenden & 2n + vii ausdrückten.*) 



Das bewiesene Theorem gibt die Veranlassung, die nachstehende 

 Betrachtung anzustellen, bei welcher wir die Kenntniss der „Mini- 

 malgruppen" (Sitzungsber. 1892) zu Grunde legen: 



Welchen Bedingungen ist das normale Verhalten der D zu den 

 C n ^ v unterworfen 6 } 



Erstens. Die B ist Minimalgruppe für alle C n + n ~ s und verhält 

 sich stets normal zu den C n + V , falls v^>n — 3 ; folglich gilt Gleiches 

 für die D, was auch â sei. 



Zweitens. Ist d <; (v -j- 3)w, so ist normale Lage der D bezüg- 

 lich C n + V verbürgt, was auch v sei. 



Denn auf einer irreduciblen C n ist die Minimalgruppe für C n + V 

 der vollständige Schnitt der C n mit einer C''+ 3 , hat also (v -j- 3)w 

 Puncte. 



Drittens. „Ist v^_n — 3, so darf à ein gewisses Maximum nicht 

 überschreiten, wenn normale Lage der D gegen C n+V vorhanden sein 

 soll" 



Da B Minimalgruppe für C 2n ~ 3 ist, so muss â <; n 2 ; denn B 

 ist anormal bezüglich aller C 2n ~ 3 und aller Curven von niederer Ord- 

 nung. Der Gruppenexcess für B bezüglich der Curven 



(Jn-\-v = Q2n—3-(n—v—3) 



beträgt, wenn 



n — v — 3 = i 

 gesetzt wird: 



(i + l)(i + 2) 



2 



Nimmt man alsdann innerhalb B mehr, als n 2 — 



Puncte an, so haben diese stets anormale Lage zu den C n + V (v. Mi- 

 nimalgruppen); dagegen kommen immer in B gewisse 



J (ť + l)(i + 2) 



*) Wenn für die <&2n+v mit â Doppelpuncten D der Coefficient e •<; 3, so 

 ist 9JČ <. « klar, mithin anormales Verhalten der D zu 0+". Also folgt aus nor- 

 malem Verhalten nothwendig cz:3. Indess ist bei anormaler Lage der D zu 

 O-f v sowohl c z= 3, als c <; 3 möglich (v. Viertens). 



