Theorie der Potenz- und Koinbinations-Determinanten. 3 



Methode ist ebenso wenig exakt wie jene, welche sich auf Determi- 

 nanten-Umformungen welcher Art immer stützen. 



IL 



Die zweite Ergänzung schmiegt sich an die früher veröffentlichte 

 Formel (9) und (14) an, indem daraus zunächst 



m 1 .m 2 . m 3 . . . m n _a k II 



1! 2! 3! . . .^Y ' m ~ / ( n_1 ' ' * l} 



abzuleiten ist. 



Da nun die rechtsstehende Kombinations-Determinante zu Ele- 

 menten lauter ganze Zahlen hat, weil 



a k /l v _ 



dieselbe mithin ebenfalls eine ganze Zahl vorstellt, so muss auch der 

 linksstehende Bruch sich auf diese ganze Zahl reduciren, also dessen 

 Zähler durch den Nenner theilbar sein. Und daraus ergibt sich fol- 

 gendes Theorem der Zahlenlehre: 



Sind n verschiedene ganze Zahlen 



m x , m 2 , m 3 , . . . , m n 

 gegeben, und bildet man daraus einerseits das Produkt 



n 



TTm k = m x . m % . m 3 . . . m n 



und anderseits die einfachste Potenzdeterminante 



â n = (m^mlml . . . m%~ 1 ), 



deren Auswerthung bekanntlich durch das zugehörige alter nirende 

 Produkt 



â n es (m 2 — m l )(m a — ^i)(% — w» a ) . . . (m n — m„_i) 



erfolgt, so ist das Produkt dieser beiden Ausdrücke durch das Produkt 

 der n ersten Faktoriellen 



