Theorie der Potenz- und Kombinations-Determinanten. 5 



wobei sowohl a als d ganzzahlig ist, wenn also die betreifenden Zahlen 

 m k eine arithmetische Reihe erster Ordnung bilden, 



:«*)=: 0, (7) 



Ei^—rd 



\ n\ 



woraus in dem noch specielleren Falle, wo die Fakultätsdiffenz d zu 

 n\ theüerfremd ist, sich ergibt 



( a n, d \ 

 -^r) =o, (8) 



und daher in dem speciellsten Falle 



d—\ 

 die bekannte Relation 



R 



a n. 1 \ 



n\ } 



liefert, die besagt, dass Binomialkoefficienten ganze Zahlen sind, wenn 

 der Potenzexponent dieselbe Eigenschaft besitzt. 

 Ist hingegen die Fakultät 



n—l 



a n, d —JJ{a -j- M) 



k=0 



theüerfremd zu w!, so liefert unsere Formel (7) die neue Relation 



Ä (4r)=°- < 9) 



welche angibt, wie die Differenz d beschaffen sein muss, damit eine 

 arithmetische Reihe erster Ordnung n zu n\ theilerfremde Glieder 

 aufweise. 



Daraus lassen sich nun einige Folgerungen ableiten, welche spe- 

 ciell Primzahlen betreffen und deswegen bemerkenswerth sind. 



Zunächst ergibt sich aus Formel (9), dass nur je vier Primzahlen 

 eine arithmetische Reihe erster Ordnung bilden können, wenn ihre 



