Integrali euleriauá e Spirali sinusoidi. 



1 -T i--! 



s n = 2 "«/' (cos #) * ^ 

 e applicando la (2) 



\2ft 



(3 ) s n = a 



i 1 



n 



Per w ^= 1 1'equazione (2) rappresenta un cerchio cli dia- 

 nietro a e si ha 



per n = 2 la stessa (2) rappresenta una lenmiscata di Bernoulli, e si ha 



ecc. 



3. La relazione (3) fu scoperta da J. À. Serret 3 ;, il quale ot- 

 tenne in tal modo una notevolissima rappresentazione geometrica degli 

 integrali euleriani di II. specie. Ma ciö che non credo sia stato ancora 

 notáto è che le spirali sinusoidi rappresentano tali funzioni, nan sol- 

 tanto col loro perimetro, ma eziandio colla loro area. 



Infatti l'area A di un settore délia curva rappresentata dalla 

 equazione (2) è data 



A — 



1 ., 1 



i 1 ■ r 



— ç-dq)—~2 n a 2 (cos nvp) n dq> , 



onde l'area totale A n di essa è data da 2n volte questo integrale preso 



tra i limiti e — , cioè da 

 2n 



3 j V. la bellissimá Note sur les intégrales eulérîennes de seconde espèce 

 (Journ. de Math, pures eť appliquées, T. VII, 1842. p. 114—119). 



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