Integrali euleriani e Spirali sinusoidi. 5 



c'inganniamo, nessuno ha poi considerato. Tale problema consiste 

 nella ricerca delle curve táli che gli angoli fatti dalle corde uscenti 

 da un punto fisso e dalVasse stanno in un rapporto costante agli 

 angoli fatti collo stesso asse dalle normali negli estremi di dette 

 corde. Delle curve risolutrici cli tale questioni il famoso geometra 

 italiano ha stabilita 1'equazione tlifferenziale in coordinate carte- 

 siane ortogonali, e questa integro soltanto nei casi speciali che con- 

 ducono al cerchio, alťiperbola equilatera ed alla lemniscata 4 ). Ora 

 l'integrazione si puô esegnire in ogni caso adoperando un sistema di 

 coordinate polari, in cui il polo stia nel punto fino e Tasse polare coin- 

 cida coll'asse di cui si parla nel problema. Dette infatti y e <p le 

 coordinate polari di un punto M di una delle curve cercate, ^ 1'angolo 



della corrispondente tangente col raggio vettore del punto di contatto 

 e k il valore del rapporto costante, le condizioni del problema si 

 traducono tosto nell'equazione 



k<p = <p + y — l 1 



ossia 



Se ne deduce 



(*-l)<P = y— /* 



COt ß — l)q> =z tg t a 



*) Produzioni matematické, T. II (Pesaro, 1750) p. 375—412. 



