(5) \ 



XXVIII. M. Lerch: 



4* 



R(x, s)-\-R(l-x, s) 



2 — ■ r - s+1 r° Hz 



— -^jt « 2 + / * 2 & s( x I ie)de-\- je — r [& 3 (% | ie) — 1] de. 



Chacune des integrales qui figurent au second membre est évi- 

 demment une transcendante entière par rapport à s, et le premier 



terme a— a un seule pôle s = 1. 



s — 1 



Ici se présente la remarque intéressante que la deuxième inté- 

 grale est en même temps une fonction transcendante entière de la 

 quantité x, ce qui nous permet d'étudier la nature analytique de la 

 transcendante définie par l'intégrale 



(6) /Vt^O | te) de — (x) ; 







car la formule (5) donne 



2 ^ r (Í S ) I \ 



(6>) 0(*) = -— i a 2 + \^ ' )R{x, s) 4- R (1 - *, s) J 



OD 



<s — 2~ [# 3 (îc | te) — 1] de. 



Il s'ensuit que la fonction <&(x), continuation analytique de l'inté- 

 grale (6), existe dans tout le plan de la variable complexe #, ne présentant 

 d'autres points critiques que les points de ramification de degré 

 infini 



x = 0, ±1, ±2, ±3, 



Quant à l'intégrale (6) elle-même il faut remarquer qu'elle ne 

 converge que lorsque la quantité x se trouve représentée par un point 

 situé à l'intérieur du carré ayant pour l'hypothénuse le segment de 

 l'axe (0 ... 1); elle converge en même temps dans les carrés dont 



