6 XXXI. K. Küpper: 



ihr Excess q x <c q, so könnte Gq höchstens den Excess q 1 haben. 

 In einer Gq-i der 2. Catégorie fehlt ein beweglicher zur primitiven 

 GqL x gehöriger Punct. Durch diesen muss dann jede die Gq- X auf- 

 nehmende C n ~* gehen ; also muss Gq^ x den Excess q — 1 haben, da- 

 mit für Gq der Excess q eintreten könne. 



Sei speciell q — 1 : Gq* ist entweder selbst primitiv, oder um- 

 fasst eine primitive Gg<q. In einer solchen Gq' bilden je G — 1 Puncte 

 eine Ga-i, deshalb mag sie Kerngruppe heissen. 



Weil in jeder Gq (primitiv oder nicht) eine GqL^ x) existirt, 

 so enthält sie auch stets eine Kerngruppe. 



c) Wir zerfallen jetzt die G { $ in Gq qi l q und G^. Welche Rela- 

 tionen herrschen zwischen ç 15 q 2 ? 



Wir wissen schon, dass q. = zur Folge hat q. 2 =0: 

 Entweder ist nun a) Q — qz= q, oder b) Q — q>q. 



a) Hier liegt die primitive G-?q vor; C^ muss hyperelliptisch 

 sein. 



Alsdann ist stets q 2 =z q v 



Beweis. G% } besteht aus q hyperelliptischen Paaren a, cc. 



Ist ç x = 0, so kommt kein solches Paar in G ( q l) vor, also auch 

 Keins in G q 2 ' mithin q., = 0. 



Wenn q 1 > 0, so sind in G q l) genau ç x Paare a, a ; folglich 

 ebensoviele in G%\ woraus offenbar hervorgeht, dass q. 2 = q 1 sein muss. 



b) Q~>2q: Wenn erstens C n p hyperelliptisch ist, also in Gq* 

 unbewegliche Puncte / (in der Anzahl Q — 2q) auftreten ; so folgt 

 zwar q 2 =z aus der Annahme q 1 =z ; nicht aber das Umgekehrte. 



Denn wählt man in Gq 1 eine G q * so, dass wenigstens ein Punct/ 

 in ihr ist, so muss in Gq- q wenigstens ein Paar a, a auftreten, weil 

 ja in Gq* immer die G^q, bestehend aus q Paaren a, a existirt. Mit- 

 hin wird q 1 > sein. 



Allerdings könnre man Gq in der Theilgruppe G<$ allein wählen, 

 wobei dann ersichtlich q 1 = würde. 



Zweitens. C% sei nicht hyperelliptisch, also Q > 2q. 



Wenn Gq j x feste Puncte / besitzt, ausserdem Q — x bewegliche, 

 eine Gq1 x bildend, so kann man immer die G q * so nehmen, dass 

 nur ein Theil ihrer q Puncte der GqL x angehören: Sodann fallen 

 von letzterer Gruppe mehr als Q — x - q Puncte in Gç- q . Diese 



