14 XXII. Franz Rogel: 



Ein wirklicher Vortheil für vorliegende Zwecke wird jedoch nur 

 dann erwachsen, wenn die Differenz a — c möglichst klein ausfällt. 

 Es kommt demnach darauf an, die gegebene Zahl s zwischen Viel- 

 fache von Primzahlen — Factoriellen 2.3.5... pi-i pi so einzu- 

 schliessen, dass 



A . 2 . 3 5 . . . _p e _i . pi < z < (A -f- 1) • 2 . 3 . 5 . ... pi-i . Pí , A <.p i+í 

 ist; selbstverständlich giebt es unter dieser Bedingung nur eine 

 einzige Factorielle f\ . 



Wurde nun zur Bestimmung von a (z) die obere Grenze n von 



n i 



| z \JJ bis auf i reduciert, so ist a (z) == zJJ -f- a ; zieht man davon 



2 2 



i 



<P (^ • fd l ) — ^ ■ /« ^// a ^> so kommt 



2 



i 



(20*) a (*) - qpflfi) = (* - m 11+ 6 - 



2 



Dass sich dieses Produkt ungleich leichter bestimmen lässt als 



i 



| ,s | /y liegt auf der Hand. 



2 



Für alle Zahlen von 7 bis 24 und von 3 1 bis 48 ist die Factorielle 

 f n aller Theiler von p. 2 bis p n kleiner als die Zahlen selbst; für alle 

 andern Zahlen ist dies nicht der Fall. Der Unterschied zwischen 

 einem Primzahlenquadrat p 2 n und der entsprechenden Factorielle /„ 

 wächst mit zunehmendem n ausserordentlich rasch. 



In Wertheim's „Zahlentheorie" ist ein Beispiel für z — 1000 

 mittels der MeisseV sehen. Formel ausgerechnet zu finden. Das Produkt 



1000 | JJ wurde direct berechnet; es besteht aus (r)"t"(f) ■•** 



2 



-|-(4) = 2 4 — 1 = 15 Gliedern. 



Mittels der Herbeiziehung von / 7 = 2. 3. 5. 7 = 210 wird die 

 Rechnung einfacher. Es ist 4 . 210 < lOOO < 5 . 210, 



5 5 5 



1 1000 1 JJ= 1 1000 — 4 . 210 JJ-{- 192 = 160 JJ+ 192 



«»(160) — 5 + 



160 

 11 



JJ-\- 192 — 38 — 5 -f 3 + 192 = 228. 



