Einige Bemerkungen über die sogenannten euklidischen Zahlen. 3 



eine Primzahl sei, die neunte 



E 61 —2 60 (2 61 — 1) 



hinzuzufügen im Stande war. Dass diese Sextillionen betragende Zahl 

 mit der Ziffer 6 endigt, folgt daraus direkt sowie auch bekanntlich 

 aus der Zusammensetzung von 



p = 61 =4. 15+1. 



Eine bisher, so viel mir bekannt, nirgends hervorgehobene 

 Eigenschaft der vollkommenen Zahlen drückt die Formel 



aus, welche besagt, dass das Produkt aller Divisoren die (p - — \)-te 

 Potenz derselben vollkommenen Zahl vorstellt, was unter Verwendung 

 der Ausdrücke (4) und (5) leicht zu beweisen ist. Man hat nämlich 

 im ersten Falle 



TT n — 9 1 + 2 + y + ■ • • +i>-' — 9 '/■_•*> <p-i) 

 k—\ 

 im zweiten hingegen 



jrfv p+k =z 2 1 + 2 + 3 +---+*- 2 .(2* - If * 



k— 1 



_ 9 v-2 o- 1) (p-2) ,g p iy- 1 



so dass als Produkt beider Ausdrücke erhalten wird 



2p— 1 



TT D k — 2<p- 1 > 2 (2p — iy~ l — [2P~ 1 (2p — 1 )]p~ 1 , 



k—l 



was eben unsere Formel (7) angibt.*) 



*) Etwas einfacher gestaltet sich die Ableitung der Formel (7), wenn wir 

 die sämmtlichen Divisoren, die Einheit ausgeschlossen, also der Anzahl nach 

 durch (2^> — 2) ausgedrückt nach Paaren gruppiren, und demnach die gleichen 

 Einzelnprodukte bilden 



2 2 X2 P_3 . (2 p — l)~E p , 



2 p - 2 X 2 . (2* - 1) = E p , 

 aP-i x (2 P _ 1} — Ej9 , 



deren es somit (p 1) gibt, wie es die angeführte Formel verlangt. 



1* 



