4 XLIII. M. Lerch: 



Cette équation que nous venons d'obtenir par la simple trans- 

 formation de l'équation de Dirichlet, présente quelque analogie avec 

 les sommes de Gauss. Cette analogie devient encore plus évidente, 

 si l'on choisit pour A un nombre premier. 



Soit p un nombre premier de la forme 4m -j- 3 et posons A z=z p ; 

 l'équation (5) deviendra dans ce cas 



Cela étant, ajoutons membre à membre avec l'identité 



lit 



cot — = 0, 

 P 



il s'ensuit 



2 S' «*J = ^~ Cl <-*>• H 1-2,3,. . .*-!;(}) = l), 



la sommation s'étendant aux résidus quadratiques de j9. 



En posant h — a 2 — p - , (a z= 1, 2, 3 . . . . p — 1), chacun 

 des nombres k se trouve deux fois engendré et il vient 



(6) f cot J^ = ňPZ a (-p), 



ou bien 



A 2Vi> 



((T) S cot -^- = ^- Cl i-p). 



o—l * 



Soit maintenant p un nombre premier de la forme Am -f- 1, et 

 posons A — 4p ; puisqu'on a évidemment 



(nřH ( - 1)2 (y)'^ 1 (mod2) ' 



la formule (5) deviendra 



