Sur quelques analogies des sommes de Gauss. 5 



(7-) £ (-1)~ (|) eotg = iif Cl (-%,), 



les conditions sommatoires étant h — 1, 3, 5, . . . . áp — 1 ; nous avons 

 employé la valeur de r qui est égal à 2, en supposant que p surpasse 

 l'unité. Nous allons maintenant calculer la valeur de la somme 



Pour ce but j'emploie la fonction rationelle 



x-{- 1 xp- 1 

 x—1 ' x 2 p + 1 ' 



dont la somme des résidus correspondant au pôle x — 1 et aux pôles 

 x — |, racines de l'équation | 2i > -(- 1 =: 0, est évidemment nulle. Le 



km 



résidu au point x — 1 étant i^ = 1, et le résidu au pôle # =: £ =e 2p 

 ayant pour valeur la quantité 



i_ 2p |-l è _ 2?> COt 4^ l } ' 



on a par conséquent 



^ — ihr 



(8) S ( ~ 1)2 COt 4i> " = 2 *' ( * =1, 3 ' 5 ' '•• 4 ^- 1} ' 



Le symbole! — I représentant la valeur zéro pour k z= p et 



pour Je — 3jp, nous isolons les termes correspondants dans la for- 

 mule (8) et il vient 



(8 a ) V (— 1) 2 cot j- _=2jp — 2(fc = 1, 3, , ... 429—1, sauf jp et 3jo). 



En ajoutant membre à membre les formules (7 a ) et (8 a ), nous 

 aurons l'équation 



