2 XLVI. Franz Rogel: 



Wird dieser Ausdruck in eine Reihe nach Potenzen von 



am 



— % — x umgesetzt, so convergiert dieselbe für alle ganzen m und n. 

 n 



Denn es ist 



r t sin 2nx 



\m, n\ = — — : cos x 



2n sin x 



(2) 



r 2 3 w(w 2 — i 2 ) . 2 



2n ^-j sm 2 x -f- 



2 5 n(n 2 — V)(n 2 — 2 2 ) 



1 , 

 = er- cos- x 



2n 



snr# 



■]• 



wo die in Klammern stehende Reihe endlich ist, da n als ganz vor- 

 ausgesetzt wird. Sämmtliche Potenzen der Sinus und Cosinus durch 

 ihre gleichwertigen für ,/ecžes x commutativen Potenzreihen ersetzt, 

 ergiebt daher für [m, n] eine ebenfalls für jedes x commutative un- 

 endliche Reihe. Das erlaubte Ordnen nach aufsteigenden Potenzen 

 von x liefert die gewünschte Entwicklung, welche nicht verschieden 

 ist von jener, welche durch Multiplication der Reihen für 



»- sin 2nx . cos x und cosec x 



ůn 



hervorgeht. Nun ist aber letztere nur für — n<^x O % oder 



— 1 <C — <; -f- 1 convergent. Dass trotzdem das Resultat beständig, 



d. h. für jeden Wert des Arguments x convergiert, wurde aber soeben 

 bewiesen. Es ist dies eine keineswegs vereinzelt dastehende That- 

 sache, dass eine nur für ein beschränktes Wertgebiet der Variabelen 

 convergente Reihe durch Multiplication mit einer geeigneten beständig 

 convergenten Reihe (hier für sin 2nx . cos x z=z 0) in eine ebenfalls 

 beständig convergente Reihe übergehen kann. 



Die wirkliche Berechnung der Coëfficienten dieser Reihe wird 

 am vortheilhaftesten mit Hilfe des Maclaurin'schen Satzes vorgenom- 

 men, wobei die goniometrischen Functionen zweckmässig durch Ex- 

 ponentialfunctionen zu ersetzen sind; der Gang der Rechnung ist 

 dann folgender: 



