Entwicklungen einiger zahlentheoretischer Functionen in unendliche Reihen. 13 



Um hieraus cp(n) zu erhalten, ist der Satz der „unbestimmten 

 Coefficienten" anzuwenden, was wegen der leicht beweisbaren Eindeu- 

 tigkeit der Entwicklung nach den Functionen x v \ (1 — x r ) 2 , v = 1, 2, . . . 

 gestattet ist. 



Dabei kommt zu beachten, dass nur in solchen Gliedern 



ein x n als Summand auftritt, bei welchem v ein Factor von n ist. 

 Da sein Coefficient = f',, —, so ist demnach 



<p(n)= £f, Wv] *, (30) 



wo das Symbol [w, v] die durch (1) erklärte Bedeutung hat. 



Diese Grundformel kann auch direct aus der die zahlentheo- 

 retische Function cp (n) definierenden Gleichung 



,(,) = , (l-i-)(l-|). . . (l_|) 



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wo a, 6, . . . . , h die in n aufgehenden Primzahlen >4 vorstellen, 

 abgeleitet werden. 



Es ist nämlich mit Heranziehung der Coefficienten ï 



qp(w) —n Zi 0} — , 



CO 



wo co alle Teiler von n, die nicht durch ein Quadrat >4 teilbar 

 sind, zu durchlaufen hat, welche Eelation mit Benützung der Vor- 

 zeichen [w, v\ sofort in obige (30) übergeht. 



Werden die [w, v] durch die gleichwertigen Reihen (4), v = 

 =: 1, 2, . . . ., in inf. ersetzt, so entsteht die Doppelreihe 



f \ Vi 1 , ^ (- 1 '/o ^ B (V. *+l 



4—2, A, . 



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