Entwicklungen einiger zahlentheoretischer Functionen in unendliche Reihen. \Q 



Durch schickliche Wahl dieser Constanten C lässt sich demnach 

 eine endliche Anzahl von Reihengliedern eliminieren. 



Aus der absoluten Convergenz für ganzzahlige Werte von n 

 folgt aber, dass diese Reihe (43), welche in ihrer allgemeinsten Form 

 gedacht werden soll, auch für jeden gebrochenen, also überhaupt für 

 jeden endlichen Wert von n eine bestimmte endliche Summe (n) 

 hat. Die Abhängigkeit derselben von der Art des Unterschiedes der 

 Reihe von der Normalform verschwindet, sobald n eine ganze Zahl 

 ist, wofür (n) in <p (ri) übergeht. Es können somit unendlich viele 

 stetige Reihenfunctionen einer Variabelen n angegeben werden, die 

 für ganze Werte derselben <p(w) zur Summe haben. 



Für ungerade u besteht analog mit (30) die Entwicklung 



CO 



in) = y; f ° i* *y 



o= 1, 3, 5, 



(44) 



welche nach Einsetzung der für [u, ej = w in (7) gefundenen Reihe 

 und nach der hier ebenfalls erlaubten Umkehrung der Summier ungs- 

 ordnung mit Beachtung von 



a=l, 3, 5,. 



übergeht in 





è)^ 



g>(w) = 



(^) 2 /M «i n ,. 



(2^r) 4 



1 2*T, 



4! 



+ 



(2*)' 



i 2 4 r Q 



('.) 



1 / 2 4 T 3 

 £, / 6 



(t) 



2 8 r K 



2 S T, 



5 / 2 12 r 7 



~ w 



+ ( ^ * A ! L \ ! ) 2 4 T 3 





3 / 2 8 r 5 * ' 



w^ 1 



+ 



(45) 



2* 



