Entwicklungen einiger zahlentheoretischer Functionen in unendliche Eeihen. 21 



roeinheit entsteht. Das allgemeine Glied geht aus jenem von (46) da- 

 durch hervor, dass zu dem in Klammern stehenden Factor der Ausdruck 



<k 



C, 



(A— 2) ! \ 2/ (A— 4) ! \2 / ' (A — 6j ! \ 2 



a 



+ (-1) G\ 



in welchem nur eine endliche Anzahl der endlichen, sonst beliebigen 

 reellen Constanten C von Null verschieden sind, hinzugezählt wird. 



Die Constanten können so gewählt werden, dass eine endliche 

 Anzahl von Coefficienten verschwindet. 



Alle aus der absoluten Convergent der durch Einführung von 

 Constanten in (43) gebildeten Reihen gezogenen Schlüsse gelten wört- 

 lich für die aus (46) abgeleiteten verallgemeinerten Reihen. 



Transformation der Reihe 2J y(%) v? z* = y?(s). 



n—l, 2, 3. . . . 



Um diese Reihe, welche für z l <c 1 convergiert, in eine andere 

 umzuwandeln, die nach algebraischen Functionen fortschreitet, genügt 

 es, die qp (x) durch die gleichwertigen Reihen zu ersetzen, wodurch 

 sich 



A-f-2 



■qr 



w= £ * žP .L+ 2 |](_i)^" r 



I 



Á-2,4,, 



A! S 2 2(A+1)! 



Î.-2 



(27t) S^ ; T Sx 



(A— 1) ! £ 3 ' ' • "T" l j & +1 



(2») 



(47) 



ergiebt. 



Bezeichnet P m (2) die Potenzreihe £ v m z v , so findet sich nach 



)'=i, 2, . . 



der hier zulässigen Umkehrung der Summationsordnung 



1 1 



21 & 



:*)<»■-£ 



Pr+3 («) 



— 2 



4!£ 2 2.5! 



(2*) 2 4 £ 4 



( 2jr ) 51 č - T- 



3! & 



Ä 



Pr+5 («) 



, . . . (48) 



