Transformationen arithmetischer Reihen. 



(i(v) 



= £ A S (*. + „)«•. £ -g«-, 



/.= 0, 1,. . 1=1,2, . . 



welche Doppelreihe wegen 



£ -;it-=s- i (^+») 



aber gleich 



j f x afi=f(x) 



/.=0, 1, . . 



ist, welches Resultat auch aus @+ 1 ©~ 1 /(íc) hervorgeht * es gilt 



n n 



demnach 



(g+l ©-!/(«) = ©- 1 ©+!/(») =/(«)• • • • (16) 



n n n n 



Auf dieselbe Weise findet sich 



Z+ 1 Z- l f(x) = Z- 1 Z+ 1 f(x)-f(x) . . .(17) 



und 



U+ 1 U- 1 /'(^) = U- 1 U- Ul /(^=/(^), . • .(18) 



n n n n 



woraus die Berechtigung, die Operationen ©+ 1 und (gr 1 , X+ 1 und 

 X -1 , U 4 " 1 und ll -1 Jnvers" zu nennen, hervorgeht. 



Den Operationen @ -1 , X -1 und ll _1 widmete Tschebyschew im 

 Journal de Mathématiques pures et appliquées (Liouville), XVI, 1851, 

 p. 337 die „Note sur différentes séries 11 ohne jedoch die Giltigkeit 

 seiner Entwicklungen untersucht zu haben. 



4. 

 Iterierung der Operationen O. 



Bei Vornahme einer Operation @ oder % an g(x) — E |/ ; . | # ; - 

 entsteht eine neue Function, welche die der Function / (x) beigemes- 



