Transformationen arithmetischer Reihen. 9 



so gebildet, dass jedem O r in © ein H r (g) in H entspricht, also 



e 

 einem @ r , ST', U r bezw. im S% T', U p ; 



w, w 15 w 2 , . . . beliebige Zahlen sind, deren grösste n sein soll, welche 

 auch negativ sein können, wenn die im 2. Abschnitte angegebene 

 Bedingung erfüllt ist ; 



c (?') eine hauptsächlich von v und seinen Teilern r abhängige, daher 

 zahlentheoretische Function ist. Eine Ausnahme macht das von der 

 Einheit nicht verschiedene c (1). 



Der beliebigen Anordnung der Factoren von H entspricht die 

 beliebige Anordnung der O in ÖD : es gilt daher : 



„Die Operationen £) sind commutativ". 



Der Exponent r der Iterierung wurde bisher als endlich vorausge- 

 setzt, weil sich Allgemeines für unendliche r nicht feststellen lässt. 

 Für letzteren Fall wird die Entscheidung bezüglich der Convergenz 

 der Untersuchung concreten Falles vorbehalten bleiben müssen. 



Die Möglichkeit eines convergenten Ergebnisses bei 00 — fâcher 

 Iterierung zeigt das Beispiel 



{(0+ 1 0~ 1 ) (D^D- 1 ) ... in inf.} f(x) =/(«); 

 ferner 



{D*©«}/(*) = ©■■/(*), 



wo bei unendlichen p und q die Differenz p — q — r eine endliche 

 ganze Zahl ist. 



Von r (v) lässt sich folgendes behaupten: 



„Die zahlentheoretische Function c (v) ist von m unabhängig" . 



Denn wird in (19) /(ce) =z%P, k ganze positive Zahl, genommen, 

 so ist wegen f k — 1, f k — 0, l^k, 



00 



c(v) 



►] JJ^- = H* = H- (km -f n) H/. (ftm + wj H/* (km + 14) 



(20) 



Es bleiben also die c (v) ungeändert, wenn m mit einem beliebigen 

 Vielfachen km vertauscht wird, woraus folgt, dass das von Null ver- 

 schiedene c (v) von m unabhängig ist. Dies ergiebt sich auch bei 

 directer Bestimmung von c (v), indem die H in der Form 



