



Transformationen arithmetischer Reihen. \\ 



übergeht, woraus 



. fv) _ Jp (v\ v ungerade \ m) 



folgt. 



Die Identität 



CO cQ 



V(w).V- 1 (w)= 2 (— l) 9 '- 1 ^- 1 . JI c(v)ir-» = -l 



r— 1, 2, . . r=l, 2, . . 



ergiebt eine der Relation (9) analoge : 



c (1) — 1, 2c(t)±=o, v>1, . . . .,.(24) 



wo sich die Summation auf alle Teiler r von v > 1 erstreckt, 



5. 

 Differentiation und Integration. 



In (19) kann sowohl x als auch m und n, w 15 w 2 , .... als ver- 

 änderlich betrachtet werden. Die Berechtigung zu (* -)- 1) — maliger 

 Differentiation und Integration dieser Gleichung nach einer oder 

 mehreren dieser Grössen hat die gleichmässige Convergent der Er- 

 gebnisse aller Differentiationen bezw. Integrationen von der ersten 

 bis zur inclusive »-ten Ordnung zur notwendigen Voraussetzung. Es 

 genügt diese Eigenschaft an der linkseitigen Reihe, die mit 9?, oder 

 an der rechtsseitigen, die mit R bezeichnet werden möge, nachzu- 

 weisen. Denn 9? und R sind nur zwei verschiedene Formen einer 

 und derselben absolut und gleichmässig convergenten Doppelreihe. 

 Hiebei soll von dem bekannten Satze Gebrauch gemacht werden, dass 

 es für die GleichmässigJceit der Convergenz einer nach Functionen 

 fortschreitenden Reihe hinreicht, wenn die Reihe der Maximalwerte 

 derselben einfach convergiert. 



Der Nachweis erfordert die getrennte Behandlung dreier Hauptfälle. 



a) x variabel', m, n, w 1? w 2 , . . . constant. Die aus der Ent- 

 stehungsweise hervorgehende obige Eigenschaft ergiebt sich auch 

 direct aus 



