Transformationen arithmetischer Reihen. 17 



können wieder Integrationen, wo die untere Grenze eine endliche 

 Grösse w ist, auf den vorigen Fall zurückgeführt werden. 



Die Ergebnisse (25), (26), (27), (30), (32), (33) und (34) lassen 

 sich nun zusammenfassen in dem einen Satze: 



„ Die aus (D/(#) hervorgehende Gleichung di — R darf bezüglich 

 „der Grössen x, m und n, n v n 2 , . . . endliche Male differentiirt 

 „und integriert werden, die Resultate sind gleichmässig convergent 

 Jür |*|<ç." 



6. 



Specielle Iterierungen. 



Gewisse zusammengesetzte Operationen führen zu einfach ge- 

 bildeten c (v). Bei ihrer Bestimmung soll von der auf Seite (9) au- 

 gekündigten Methode Gebrauch gemacht und /' (%) — 1 gesetzt werden. 

 Bemerkenswerte Eigenschaften derselben leiten sich aus der Com- 

 mutativität der O ab. 



Um stete Wiederholungen zu vermeiden und eine einfachere 

 Schreibung zu erzielen bezeichne: 



r — 2"' 3''' 1 5 ;i . . . einen Teiler der beliebigen Zahl v — 2 a 3 /? 5'' . . . , 

 r 1 den complementären Teiler = v : z = 2 K2 3^ 5^ . . . , 



so dass also a l -f a 2 ~ «, ß^-\- ß., = ß, y 1 -f- y 2 =: y, . . . ist, 27 ip (r) 



T 



eine sich über alle Teiler r von v erstreckende Summe, p eine Prim- 

 zahl "> 1, 



b ( ^ (v) die Summe der Ä-ten Potenzen aller Teiler von v, 

 x =z 3 ß 5" l 6 ... eine ungerade Zahl. 



aj <B r f(x) = 



n 



£'^ L '/.fe)= £/^(A»4-«)*V) 



r=l \ ' /.=0, 1, . . 



(35) 



fix) = 1 : 



*) Hieraus entstehen für / (x) — tang a-, mz=l, ra = l, die von J. W. L. 

 Glaisher in „The Messenger of Mathematics", (2), XIX, p. 138— 146, mit- 

 geteilten sehr speciellen Formeln. 



Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe. 1897. 2 



