(xxx) | DIE AUF HYPERELLIPT. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN FÜHREN. 17 
wo wir unter À und p die gegen w == a und w= 8 resp. sprechenden 
Werthe von $ verstehen. In Ф, (w) haben wir die Ausdrücke (11), (12) und 
(15) für w einzusetzen. 
Die Bedingungen (16,1) und (16,2) sind an die Funktionen o, (w) ge- 
knüpft, da bei den gewöhnlichsten Methoden, eine willkürliche Funktion 
einer reellen Veränderlichen darzustellen, nämlich durch trigonometrische 
Reihen und durch Reihen von Kugelfunktionen, die fraglichen Bedingungen 
erfüllt sind. Die Reihen, die man durch Anwendung dieser beiden Me- 
thoden erhält, werden aber im Allgemeinen nur innerhalb endlicher Gren- 
zen die Funktion darstellen, und obgleich man diese Grenzen beliebig weit 
ausdehnen kann, bleibt es doch zweifelhaft, ob man dabei zu praktisch 
verwendbaren Formeln geführt wird. Jede Funktion Ф, (w), die die Be- 
dingungsgleichungen (16,1) und (16,2) erfüllt, giebt indessen eine neue 
Methode die Funktionen einer reellen Veränderlichen darzustellen, und die 
Lösung derselben enthält also auch die Lösung des vorliegenden Umkehr- 
problems [die Umkehrung der Gleichungen (11), (12) und (15)]. 
Übrigens kann man auch Methoden finden, die Funktionen einer 
reellen Veränderlichen darzustellen, ohne dass man die fraglichen Be- 
dingungen zu erfüllen sucht. Es scheint mir als ob einige Unter- 
suchungen von Tchébychef in dieser Beziehung zu dem erwünschten 
Resultat führen können (Vergleich: «Sur le développement des fonctions 
à une seule variable». Bulletin de l'Académie 1859 von dem genannten 
Verfasser). 
Hat man nun in irgend einer Weise $ durch w dargestellt, so liefert die 
Gleichung (3) die noch erforderliche Relation zwischen مه‎ und £. Wir wer- 
den dann auf ein dem obigen analoges Problem geführt. Indessen wird diese 
Aufgabe durch die in $ 4 erwiesenen Eigenschaften von 20 einigermaassen 
erleichtert. 
7. Obgleich es nicht leicht ist einen für alle reelle Werthe von w gel- 
tenden Ausdruck für ç zu finden, so lange m und n beliebig hohe Werthe 
haben, so lässt sich doch immer eine Lösung erhalten, wenn m und 8 ver- 
hältnissmässig niedrige Zahlwerthe sind. Zur Bequemlichkeit bei der Ве- 
handlung solcher Probleme, in denen nur kleinere Werthe von » und » 
vorkommen, werden wir diese Integrale aufsuchen. 
Mit Hülfe der Gleichungen (11), (12) und (15) kónnen wir leicht die 
Fälle aufsuchen, in denen $ sich ohne Reihenentwickelungen durch w aus- 
drücken lässt. Da aber diese Gleichungen hier nicht abgeleitet worden sind, 
werden wir vorziehen, die betreffenden Integrale, direkt aus den Differential- 
gleichungen abzuleiten. 
Die Differentialgleichung für € $ маг 
Mélanges mathém. et astron. T. УП, p. 9. ; 2 
