Die bifokale Abbildung von Kreiskegeln auf die Punkte der Ebene. 13 



8 ist dem S' harmonisch ein- 

 geschrieben. 



(S' ist dem S harmonisch um- 

 schrieben) 



5 ist dem S' harmonisch um- 

 schrieben. 



(5' ist dem S harmonisch ein- 

 geschrieben. 



Die hiefür charakteristische Beziehung zwischen den Koeffizi- 

 enten der Kegelgleichung (1) bzw. (1') lautet: 



1 



- + -- 

 a' 2 ^ Ď 2 ť 



=zť) 



a 2 ^¥ — c 2 =zo 1 ) 



bzw. 



bezüglich der Halbachsen des zugehörigen sphärischen Kegel- 

 schnittes (Gl. 2) 



cotg 2 u -f cot 2 ß =1. | tg' z u + tfß — 1 . 



Aus dieser „charakteristischen" Gleichung folgt, daß 



die Kegelspur in der Ebene z = 1 

 die Ellipse -^— + -— ^„ 2 ... =1,1 



die Kegelgleichung (1') oder hier 

 x 2 cotg 2 a -f- y 2 (1 — cotg 2 a) — z 2 ~ 0, 

 (y 2 — z a ) + 0«£ — U 2 ) cotg 2 u — 

 unabhängig von «, also für jede der 

 x 1 Formen von unserem Typus (a) er- 

 füllt wird, wenn 



y- — z 2 zr und zugleich 

 ist. 



= 



„Jeder (gleichseitige) Kegel Schröters 

 geht durch die vier bezüglich seiner 

 Symmetrieachsen festen Strahlen, 

 welche (vom Kegelscheitel ausgehen und) 

 gleiche Winkel («*) mit den Symmetrie- 

 achsen x, y, z bilden 



tg- et 1 — tg' 2 a 



die Gerade x -\-y = 1 (und daher auchjede 

 der drei andern, zur letzten n bezüglich 

 der Ellipsenachsen symmetrischen Ge- 

 raden) berührt; denn wirklich ver- 

 schwindet die Diskriminante der 

 in x quadratischen Gleichung, welche 

 sich durch Substitution von y = 1 — x 

 in die Ellipsengleichung ergibt, nämlich 

 der Gleichung 



x- — 2 x tg 2 et -~ tg* cc — 0. 

 „Jeder Kegel Monges berührt die 

 vier bezüglich seiner Symmetrieebenen 

 festen Ebenen (durch den Kegelschei- 

 tel), welche gleiche "Winkel («*) mit den 

 Symmetriebenen x :=o, j/ = o, z~o des 

 Kegels bilden 



l ) Will man an der Ungleichung a 2 ^ l 2 oder tg' 2 a =^ tg 2 ß festhalten 

 (welche die Übersicht der Kealitätsverhältnisse erleichtet) und setzt man — 

 gemäß der absoluten Polarität zu einer Kegelform vom Typus der Nach- 

 barspalte — entweder rechts oder links vom obigen Vertikalstrich 



a 2 =± 



b 2 



1 1 



—TT » c " = —TT ''— 1) ein, 



damit wiederum 



h' 1 oder 



--s» a • linken 



tg « == tg''ß' wird, so geht aus der charakteristischen Beziehung der , { 



rechten 

 Spalte jene der , Spalte durch diese Substitution hervor, falls man 



noch nachträglich die Akzente wieder fortläßt. 



