14 IV. Anton Grünwald: 



(3 cos 2 a* — 1, tg 2 a*z=2), 



also parallel sind zu den Diagonalen also parallel sind zu den FJächen eines 

 eines Würfels, dessen Kanten die Rieh- regulären Oktaeders, dessen Diagonal- 

 tungen der Symmetrieachsen x y z ebenen die Stellung der Symmetrieebe- 

 haben." nen des Kegels haben." 



Hieher gehört auch ein U m d r eh u n g s kegel 1 ) 



a) Schröters 6) Monges 



{tg* a = tffi = 2)(a = ß = «*). |y a __ u/ß = _Tj (a^-r = 90' J - «'). 



e) b 2 = c 2 (^a 2 ) 2 ) /) a 2 = c 2 (^iV) 



tg 2 ß = l (^ tg 2 a) tg 2 a = 1 (^ tg 2 ß) 



Kegel des P a p p u s. Kegel des Hachette. 



Schneidet eine der beiden durch die innere Kegelachse z ge- 

 legten Syrnmetrieebenen des Kegels denselben in einem rechtwin- 

 keligen Kantenpaare, so ist der Kegel ein solcher des 



Pappus (tg 2 a^=i[) oder Hachette (tg*ß^Ll), je 



nachdem in die andere durch s gelegte Symmetrieebene Kanten fallen, 

 welche um 



mehr oder weniger 



als 45° von z abstehen. 



Der sogenannte „mittlere" Umdrehungskegel mit dem halben 

 Öffnungswinkel 45° (Kegel ef der Tabelle des § 6) ist ein Kegel des 

 Pappus und zugleich des Hachette. Er ist der einzige Kegel mit dieser 

 Eigenschaft, auch der einzige reelle Kegel, der zu sich selbst 3 ) absolut polar 

 ist, d. h. dessen Tangentialebenen und Kanten einander als paarweise senkrecht 

 zugeordnet werden können. 



Halten wir die Symmetrieachsen x y z fest, so bilden die Kegel des 

 P a p p u s (b- = c s <^ a 2 ) Hachette (o 2 z:r >5 2 j 



einen Teil des linearen Systèmes — dieses System ist zugleich Büschel und 

 Schar — jener Kegel, welche die Ebenen 



y 2 =zz 2 x % ~ z 2 



längs ihren Schnittgeraden mit der Ebene 

 x zz o y = o 



berühren. 4 ) 



') Vgl. im § 7. 



2 ) Vgl. die Bemerkung im kleinen Druck unmittelbar vor der Tabelle in 

 diesem § 4. 



: ') Zu einem mit ihm selbst kongruenten Kegel ist jeder Kegel absolut 

 polar, bei welchem ty* a . tg 2 fi — 1, a -j- ß — 90° ist. Vgl. die zweite Fußnote 

 beim § 4, und den § 8. 



*) Der andere Teil dieses Systèmes wird gebildet von Kegeln de3 

 Hachette. Pappus. 



