Die bifokale Abbildung von Kreiskegeln auf die Punkte der Ebene. 17 



Die Ürthogonalkegel sind auch 

 projektiv-erzeugbar durch kon- 

 gruente Ebenenbüschel, deren 

 reelle Achsen auf dem Kegel belie- 

 big, aber symmetrisch zu einander 

 liegen bezüglich der Ebene der 

 Nebe n-scheitelkanten. 



Aus tg 2 ß . tg 2 <p = 1 (vgl. Gl. 2 

 und 3') folgt für die Orthogonalkegel 



c 4 ' a 2 — b* ~ 

 oder (wegen b 2 -j- c 1 =j= o) 

 J_ 1_ J__ 

 a 2 b* ~*~ c 2 — ° 

 oder (vgl. Gl. 2) 



cotg 2 ß — cotg 2 a =. 1 



{sin 2 a — tg 2 ß) 



Die Kegel Reyes sind auch pro- 

 jektiv-erzeugbar durch kongru- 

 ente Strahlenbüschel, deren reelle 

 Ebenen beliebige, aber bezüglich 

 der Ebene der H a u p t-scheitel- 

 kanten zu einander symmetrische 

 Tangentialebenen des Kegels sind. 



Aus tg 2 a . tg 2 xp = 1 (vgl. Gl. 2 

 und 5') folgt für diese Kegel Reyes 



a~ — o- 



7 = 1 



er 



c 2 " 6 2 — j— c- 



oder (wegen a 2 -f- c 2 =f= o) 



a'- 



b' 1 — ť-^o 1 ) 

 oder (vgl. Gl. 2) 



tg*a - tg 2 ß = 1 



(cotg- a = cos 2 ß) 



als charakteristische Gleichung. 



Diese besagt, daß jeder solche Kegel zwei für den Typus charakteristische 

 Paare von konjugiert-komplexen, mit den Symmetrie-achspn und -ebenen starr 

 verbundenen 



Kanten besitzt. 

 Es sind dies jene Strahlen der beiden 

 reellen Ebenen z-=z±y, welche sich 

 auf die xy Ebene in die Kreispunkts- 

 strahlen (x 2 -\-y 2 — o) der letzteren pro- 

 jizieren. 



[Die Gl. (1') oder x 2 cotg- a -j- y 1 cotg 2 ß 

 — 1 nimmt bei unserem Typus wegen 

 cotg 2 ß—\-\- cotg 2 a die Gestalt an: 

 (x* -{-y 2 ) cotg 2 a -\- (y 2 — z 2 ) -— o ; sie wird 

 also unabhängig von « erfüllt, wenn 

 zugleich x 2 -f- y 2 — o und y 2 — z 2 — o ist.] 



Tangentialebenen hat. 



Es sind dies jene Ebenen, welche die 

 beiden reellen (in der xz Ebene unter 

 -j- 45° gegen die z Achse gelegten) Ge- 

 raden ?/ = o, z— -^x mit den Kreis- 

 punkten (x 2 -\- y- zz o, zzzro) der xy 

 Ebene verbinden. 



Will man wiederum den Übergang zu 

 Ebenenkoordinaten vermeiden, so genügt 

 es zum Beweise des Gesagten, in jeder 

 Ebene s = konst. die Spurpunkte der 

 genannten reellen Geraden als Brenn- 

 punkte der Kegelspur in dieser Ebene 

 zu erkennen.] 



struktion der sphärischen Kegelspur 

 eines Orthogonalkegels als „Normal- 

 Konchoide" eines größten Kreises x.) 



die zur Ebene (v f) senkrecht steht. 

 (Konstruktion der sphärischen Kegel- 

 spur solchen Reye-Kegels als „negative 

 Fußpunktskurve" eines größten Kugel- 

 kreises bezüglich des Kugelspurpunktes 

 einer Fokalachse f als Pol.j 

 *) Vgl. die Fußnote auf der Seite 13. 



Sitzb, der. kön. böhm. Ges. d. Wiss. II. Classe. " 



